About quadratic differentials and normal twisted surface applications in S2×R and H2×R.

Ruh-Vilms’ theorem states that a hypersurface of the Euclidean space has constant mean curvature if and only if its Gauss map is harmonic. Bittencourt and Ripoll, in the article ”Gauss Map Harmonicity and Mean Curvature of the Hypersurface in a Homogeneous Manifold”, extended the result for homogeneous spaces. In this work, we consider the particular case of the Cartesian product of the two-dimensional sphere with the real line, for which it’s proved that the Gauss map defined by Bittencourt and Ripoll in the article mentioned above induces a quadratic differential that coincides with the Abresch-Rosenberg differential, and this differential is holomorphic for surfaces of constant mean curvature. Furthermore, it is proved that such application is the twisted normal map of the surface. This concept can be extended to the Cartesian product of two-dimensional hyperbolic space with the real line, for which the coincidence of both differential forms holds. Later, it extends the Ruh-Vilms theorem for the two ambient spaces mentioned above.O teorema de Ruh-Vilms afirma que uma hipersuperfície do espaço euclidiano tem curvatura média constante se, e somente se, sua aplicação de Gauss é harmônica. Bittencourt e Ripoll, no artigo ”Gauss Map Harmonicity and Mean Curvature of a Hypersurface in a Homogeneous Manifold”, estenderam o resultado para espaços homogêneos. Neste trabalho, considera-se o caso particular do produto cartesiano da esfera bidimensional com a reta real, para o qual prova-se que a aplicação de Gauss definida por Bittencourt e Ripoll no artigo supracitado induz uma diferencial quadrática que coincide com a diferencial de Abresch-Rosenberg, e esta é holomorfa para superfícies de curvatura média constante. Além disso, prova-se que tal aplicação de Gauss é a ”aplicação normal torcida” da superfície. Tal conceito pode ser estendido para o produto cartesiano do espaço hiperbólico bidimensional com a reta real, para o qual também vale a coincidência das formas diferenciais. Posteriormente, estende-se o teorema de Ruh-Vilms para os dois espaços ambientes citados