Isometric immersions in warped products.

In this work, we find necessary and sufficient conditions for a nondegenerate arbitrary signature manifold M n to be realized as a submanifold in the large class of warped product manifolds εI × a MNλ(c), where ε = ±1, a : I ⊂ R → R+ is the scale factor and MNλ(c) is the N-dimensional semi-Riemannian space form of index λ and constant curvature c ∈ {−1, 1}. We also discussed the necessary and sufficient conditions for a nondegenerate arbitrary signature manifold M n to be realized as a submanifold in the class of warped product manifolds MN1 k1(c 1 ) × h MN2 k2 (c 2 ). In the case of submanifolds of εI × a MNλ(c), we prove that if M n satisfies Gauss, Codazzi and Ricci equations for a submanifold in εI × a MNλ(c), along with some additional conditions, then M n can be isometrically immersed into εI × a MNλ(c). This comprises the case of hypersurfaces immersed in semi-Riemannian warped products proved by M.A. Lawn and M. Ortega (see Lawn and Ortega (2015)), which is an extension of the isometric immersion result obtained by J. Roth in the Lorentzian products Sn × R1 and Hn × R1 (see Roth (2011)), where Sn and Hn stand for the sphere and hyperbolic space of dimension n, respectively. This last result, in turn, is an expansion to pseudo-Riemannian manifolds of the isometric immersion result proved by B. Daniel in Sn × R and Hn × R (see Daniel (2009)), one of the first generalizations of the classical theorem for submanifolds in space forms (see Tenenblat (1971)). In the case of submanifolds of warped products MN1 k1 (c 1 ) × h MN2 k2 (c 2 ), we discussed the necessary and sufficient conditions, as well as displaying a result for the case where the warping function has a conformal Hessian, which generalizes not only all the articles mentioned above, but also in part the result obtained in Lira, Tojeiro, and Vit´orio (2010).Nesta tese, nós encontramos condições necessárias e suficientes para uma variedade Mn não-degenerada de índice arbitrário ser realizada como uma subvariedade da vasta classe de variedades produto warped εI × a MNλ(c), onde ε = ±1, a : I ⊂ R → R+ é o fator escalar e M Nλ(c) é a forma espacial N-dimensional semi-Riemanniana de índice λ e curvatura constante c ∈ {−1, 1}. Também discutimos as condições necessárias e suficientes para uma variedade Mn não-degenerada de índice arbitrário ser realizada como uma subvariedade da classe de variedades produto warped MN1 k1 (c 1 ) × h MN2 k2 (c 2 ). Para o caso de subvariedades de εI × a MNλ(c), provamos que se Mn satisfaz as equações de Gauss, Codazzi e Ricci para uma subvariedade em εI × a MNλ(c), junto com algumas condições adicionais, então Mn pode ser isometricamente imersa em εI × a MNλ (c). Isso generaliza o caso de hipersuperfícies imersas em produtos warped semi-Riemannianos provado por M.A. Lawn and M. Ortega (ver Lawn and Ortega (2015)), que é uma extensão do resultado de imersões isométricas obtido por J. Roth nos produtos Lorentzianos Sn × R1 and H n × R1 (ver Roth (2011)), onde Sn e Hn são a esfera e o espaço hiperbólico de dimensão n, respectivamente. Esse último resultado, por sua vez, é uma expansão para variedades pseudo-Riemannianas do resultado de imersões isométricas provado por B. Daniel em Sn × R and Hn × R (ver Daniel (2009)), uma das primeiras generalizações do teorema clássico para subvariedades em formas espaciais (see Tenenblat (1971)). Já para o caso de subvariedades do produto warped MN1 k1(c 1 ) × h MN2 k2 (c 2 ), discutimos as condições necessárias e suficientes, bem como exibimos um resultado para o caso em que a função warping possui Hessiana conforme, o que generaliza não só todos os artigos supra citados, como também em parte o resultado obtido em Lira, Tojeiro, and Vitório (2010)