Differentiability and approximation by functions C1: for functions Lipschitz, Sobolev and limited variation.

In the scope of the research in Applied Analysis as in Partial Differential Equations, a mathematician tends to deal with functions that are not continuous. In this way, this work aims to present regularity and approximation results by more regular functions, for functions that are first only integrable in the Lebesgue sense and/or enjoy a preestablished property. However, in order to establish such results, it is necessary to consolidate a series of fine results into real-values of the Real Analysis in order to obtain more sophisticated tools. In particular, will be exported results on Differentiability Lp*, Approximate Differentiability and Differentiability q.t.p. for Lipschitz functions, for Sobolev functions whose weak gradient are functions in L p and for functions of Bounded Variation whose gradient is a vector measure of Radon. Also will be exposed regularity results for convex functionsWe will show that such functions are locally Lipschitz and that for almost every point of the domain of a convex function there are derived from the second order. This is the famous Aleksandrov’s Theorem. In addition, we will establish the approximation results by functions C 1 for functions Lipschitz, Sobolev and Bounded Variation where we have control over the smallness of the Lebesgue measure of the set where the chosen function and its gradient differ, respectively, from the functions and its gradient.No âmbito da pesquisa em Análise Aplicada como em Equações Diferenciais Parciais, um matemático tende a lidar muitas vezes com funções que sequer são contínuas. Dessa forma, este trabalho tem como objetivo, apresentar resultados de regularidade e aproximação por funções mais regulares, para funções que a priori são apenas integráveis no sentido de Lebesgue e/ou gozam de uma propriedade preestabelecida. Contudo, para estabelecer tais resultados, se faz necessário consolidar uma série de resultados finos em vários tópicos da Análise Real afim de obtermos ferramentas mais sofisticadas. Em particular, serão expostos resultados sobre Diferenciabilidade Lp*, Diferenciabilidade Aproximada e Diferenciabilidade q.t.p. para funções Lipschitz, para funções de Sobolev cujo gradiente fraco são funções em Lp e para funções de Variação Limitada cujo gradiente é uma medida vetorial de Radon. Também serão expostos resultados de regularidade para funções convexas. Mostraremos que tais funções são localmente Lipschitz e que para quase todo ponto do domínio de uma função convexa existem derivadas de segunda ordem. Este é o famoso Teorema de Aleksandrov. Além disso, serão estabelecidos resultados de aproximação por funções C1 para funções Lipschitz, de Sobolev e Variação Limitada onde temos o controle sobre a exiguidade da medida de Lebesgue do conjunto onde a função escolhida e seu gradiente diferem, respectivamente, da função C1 e seu gradiente