Contributions to the theory of constant mean curvature surfaces

n 1985, R. Bryant ([Br]) carried out a study in which he sought to determine which spatial classes of spatial forms of dimension 3 allowed local representation in terms of holomorphic data, as had been done by Enneper and Weierstrass in minimum surfaces. As a result of their investigations, we conclude that only a new case appeared, namely surfaces with constant mean curvature equal to 1 (CMC 1) in the hyperbolic space with sectional curvature equal to -1. Classically, it is known that surfaces were locally isometric to surfaces through Darboux-Lawson's correspondence, but Bryant went further and showed that from the global point of view the analogy was held in the sense that CMC 1 surfaces also allowed an Enneper-Weierstrass representation. In particular, he showed that some classic minimal surfaces, such as the catenode and the surface of Enneper, had hyperbolic correspondences, which he called "raw". Bryant's representation subsequently allowed the construction of numerous global examples, notably by W. Rossman, M. Umehara and K. Yamada. In particular, in ([RUY]), these authors showed that, starting from a minimal surface satisfying a set of natural geometric conditions, it was possible to construct a family to a parameter of CMC 1 surfaces and thus provided many other examples of surfaces cousins. In view of this, it is natural to seek to ascertain whether such construction can be carried out starting from the aforementioned Costa-Hoffmann-Meeks-Karcher surfaces.Em 1985, R. Bryant ([Br]) realizou um estudo em que procurava determinar que classes de superfícies em formas espaciais de dimensão 3 admitiam uma representação local em termos de dados holomorfos, a exemplo do que havia sido feito por Enneper e Weierstrass no caso das superfícies mínimas. Como resultado de suas investigações, conclui-se que somente um novo caso aparecia, a saber, as superfícies com curvatura média constante igual a 1 (CMC 1) no espaço hiperbólico com curvatura seccional igual a – 1. Classicamente, já se sabe que tais superfícies eram localmente isométricas a superfícies através da correspondência de Darboux-Lawson, mas Bryant foi além e mostrou que do ponto de vista global a analogia se mantinha no sentido de que as superfícies CMC 1 também admitiam uma representação do tipo Enneper-Weierstrass. Em particular, ele mostrou que algumas superfícies mínimas clássicas, como o catenóide e a superfície de Enneper, possuíam correspondências hiperbólicas, que ele chamou de “primas”. A representação de Bryant posteriormente permitiu a construção de inúmeros exemplos globais, notadamente po W. Rossman, M. Umehara e K. Yamada. Em particular, em ([RUY]), estes autores mostraram que, partindo-se de uma superfície mínimas satisfazendo um conjunto de condições geométricas naturais, era possível construir uma família a um parâmetro de superfícies CMC 1 e assim forneceram muitos outros exemplos de superfícies primas. Em função disto, é natural procurar verificar se essa construção pode ser levada a cabo partindo das superfícies de Costa-Hoffmann-Meeks-Karcher mencionadas acima