The principle of concentration and compaction and applications

Many issues in Physics-Mathematics or Differential Geometry involve minimization problems, where minimizing sequences are not automatically compressed by standar arguments of Functional Analysis. Typically, the loss of compactness is due to domain invariance, for example, by non-compact groups of translations and dilations; or by the loss of compact dives, often by not limiting the domain or by working with critical exponents. The main advance to deal with this loss of compactness was obtained by Lions, P. L. in four famous articles: The concentration-compactness principle in the Calculus of Variations. The locally compact case, part 1 and part 2 [PL1] and [PL2] The concentration-compacting principle in the Calculus Variation. The limit case, part 1 and part 2 [PL3] and [PL2] The first two present a method for solving minimization problems in non-limited domains. It is derived from a heuristic principle the equivalence between the compactness of all minimizing sequences in a sub-diactivity condition. The proof is based on the Lemma of Concentration and Compaction, which is obtained with the notion of concentration functions of a measure.Muitas questões em Física-Matemática ou em Geometria Diferencial envolvem problemas de minimização, onde sequências minimizantes não são automaticamente compactadas por argumentos standart de Análise Funcional. Tipicamente, a perda de compacidade é devida a invariância do domínio, por exemplo , por grupos não compactos de translações e dilatações; ou ainda pela perda de mergulhos compactos, muitas vezes pela não limitação do domínio ou por estarmos trabalhando com expoentes críticos. O principal avanço para lidarmos com esta perda de compacidade foi obtido por Lions, P. L. em quatro célebres artigos: The concentratiom-compactness principle in the Calculus of Variations. The locally compact case, part 1 and part 2 [PL1] e [PL2] The concentration-compacteness principle in the Calculus Variation. The limit case, part 1 and part 2 [PL3] e [PL2] Os dois primeiros apresentam um método para resolvermos problemas de minimização em domínios não limitados. É derivada de um princípio heurístico a equivalência entre a compacidade de todas as sequencias minimizantes em uma condição de sub-ditividade. A prova é baseada no Lema de Concentração e Compacidade, o qual é obtido com a noção de funções de concentração de uma medida