Equidecomposition of figures and the third problem of Hilbert

This paper aims to show the solution given by Max Dehn to the third Hilbert’s problem, which is the following question “there are two fi gures in space that are not equivalent by dissection and have the same volume?”. The work is divided into three chapters: in the fi rst presents a brief introduction on units of measure both lengths and areas. A function is constructed which measures the part of the plane occupied by afigure, it is called area function. The second chapter is devoted to the study of poly-gons that are equivalent by dissection, i.e., polygons that may be constructed splitting one of then in smaller parts that do not overlap and, when placed together in another position, form the other polygon. It also a proof of the Bolyai-Gerwien theorem which establishing the area as an invariant for equivalence by dissection. The third chapter deals with equivalence by dissection in space, with a discussion of Proposition 5 of Book XII of “The Elements” of Euclid and the third problem of Hilbert, and the solution given by Max Dehn to the Hibert’s third problem is presented. One important feature of Max Dehn proof is the use of elements of an abelian group as invariants to equivalence by dissection. A consequence of Dehn’s theorem is that the principle of exhaustion is necessary in the study the volume of pyramids.O presente trabalho tem por objetivo exibir a solução de Max Dehn para o terceiro problema de Hilbert, que é o seguinte questionamento ``existem duas figuras no espaço que não são equivalentes por dissecção e têm o mesmo volume?''. Figuras equivalentes por dissecção também são chamadas de equidecompostas. O trabalho é dividido em três capítulos: No primeiro é feita uma breve introdução sobre unidades de medida tanto de comprimentos como de áreas e em seguida é construída uma função que mede a parte do plano ocupada por uma figura, esta função é denominada de função área. No segundo capítulo são estudados os polígonos equivalentes por dissecção, isto é, aqueles que podem ser formados um a partir do outro dividindo-se um deles em um número finito de partes que não se sobreponham e que, quando reposicionadas no plano de modo a também não se sobreporem, essas partes formem o outro polígono. É feita ainda a demonstração do teorema de Bolyai-Gerwien, que estabelece a área de uma figura plana como invariante para a equivalência por dissecção. No terceiro capítulo, trataremos da equivalência por dissecção no espaço, com uma abordagem sobre a Proposição 5 do livro XII de ``Os Elementos'' de Euclides e sobre o terceiro problema de Hilbert, exibindo a solução de Max Dehn para esse problema. Uma característica importante na demonstração de Max Dehn é o uso de elementos de uma grupo abeliano como invariantes para a equivalência por dissecção. Uma consequência do Teorema de Dehn é que o princípio da exaustão é necessário no estudo do volume de pirâmides