Some results on the group of the classes of the quadratic bodies

Many are the known results involving the groups of numbers elds and many are the open problems. We know that the group of classes of a number fields is finite and abelian. In this paper we present some results about the group of the classes of the quadratic fields. It is known that for every intergers n greater than zero there are finite quadratic fields, both real and imaginary, whose class groups have a cyclic subgroup of order n. For an arbitrary abelian group G of order n, the existence or not of finite quadratic fields with groups of ideal classes having a subgroup isomorphic to G is an open problem. Particularly for non-cyclic finite abelian groups G, Kwang-Seob Kim has proved that there are finite real quadratic bodies in G =Z/nZ x Z/nZ: Whose groups of ideal classes contains a subgroup isomorphic to G and that is G = Z/nZ x Z/nZxZ/nZ then there are finite imaginary quadratic cups whose groups of ideal classes contain a subgroup isomorphic to G. The theorem of Kwang-Seob Kim is the main result presented in this dissertation.Muitos são os resultados conhecidos envolvendo o grupo dos corpos de números e muitos são os problemas em aberto. Sabemos que o grupo das classes de um corpo de números é finito e abeliano. Neste trabalho apresentaremos alguns resultados sobre o grupo das classes dos corpos quadráticos. Sabe-se que para cada inteiro n maior que zero existem finitos corpos quadráticos, tanto reais como imaginários, cujos os grupos das classes possuem um subgrupo cíclico de ordem n. Para um grupo abeliano arbitrário G de ordem n, a existência ou não de finitos corpos quadráticos com grupos das classes de ideais tendo um subgrupo isomorfo a G é um problema em aberto. Particularmente para grupos finitos abelianos não cíclicos G, Kwang-Seob Kim provou que, se G =Z/nZ x Z/nZ existem fi nitos corpos quadráticos reais cujos os grupos das classes de ideais contêm um subgrupo isomorfo a G e que se G = Z/nZ x Z/nZxZ/nZ, então existem finitos corpos quadráticos imaginários cujos os grupos das classes de ideais contêm um subgrupo isomorfo a G. O teorema de Kwang-Seob Kim é o principal resultado apresentado nesta dissertação