Hypersurfaces with free board and rigidity of minimal surfaces

In this thesis, we prove estimates for the volume and boundary area of stable hypersurfaces ∑n-1 with nonpositive Yamabe invariant satisfying the free boundary condition in a Riemannian manifold Mn with bounds for the scalar curvature and the mean curvature of the boundary. Assuming further that ∑ is locally volume-minimizing in a manifold M with scalar curvature bounded below by a nonpositive constant, we conclude that locally M splits along ∑ as (-Є, Є)x ∑, for some Є > 0. In the case that ∑ locally minimizes a certain functional inspired by the work of Yau (2001), a neighborhood of ∑ in M is isometric to ((-Є, Є) x ∑, dt2 + e2tg), where g is Ricci at. In the second part, we study other scalar curvature rigidity phenomena adapting a technique developed by Máximo e Nunes (2013) to show a local rigidity result for three-dimensional Riemannian manifold M3 whose scalar curvature is bounded from below by a negative constant. We prove the following result: Let ∑2 ⊂ M3 be a stable minimal surface which locally maximizes the Hawking mass on M. Then M near ∑ is a piece of one the Kottler space.Nesta tese, provamos estimativas para o volume e área do bordo de hipersuperficies estáveis ∑n-1 com invariante de Yamabe não positivo satisfazendo à condição de bordo livre em uma variedade Riemanniana de dimensão n com limitação na curvatura escalar e curvatura média do bordo. Supondo ainda que ∑ é localmente minimizante de volume em uma variedade M com curvatura escalar limitada inferiormente por uma constante não positiva, concluímos que localmente M divide-se ao longo ∑ como (-Є, Є)x ∑, para algum Є > 0. No caso em que ∑ localmente minimiza um funcional adequado inspirado pelo trabalho de Yau (2001), uma vizinhança de ∑ em M é isométrica a ((-Є, Є) x ∑, dt2 +e2tg), onde g é Ricci plana. Na segunda parte, estudamos outro fenômeno de rigidez pela curvatura escalar adaptando a técnica desenvolvida por Máximo e Nunes (2013) para mostrar um resultado local de rigidez para uma variedade Riemanniana tridimensional M3 cuja curvatura escalar é limitada inferiormente por um constante negativa. Provamos o seguinte resultado: Seja ∑2 ⊂ M3 uma superfície mínima estritamente estável que localmente maximiza a massa Hawking em M. Então M perto de ∑ é um pedaço de um dos espaços de Kottler