On hypersurfaces with prescribed curvature and boundary in riemannian manifolds

We investigate the existence of hypersurfaces with prescribed curvature in a wide context. First we study the Dirichlet problem for a class of fully nonlinear elliptic equations of curvature type on a Riemannian manifold, which are closely related with the existence of hypersurfaces with prescribed curvature and boundary. In this setting we prove some existence results which extend to a Riemannian manifold previous results by Caffarelli, Nirenberg,Spruck and Bo Guan for the Euclidean space. We also study the existence of hypersurfaces with prescribed anisotropic mean curvature. We prove existence results for the Dirichlet problem related to the anisotropic mean curvature equation. This ensures the existence of Killing graphs with prescribed anisotropic mean curvature and boundary in a Riemannian manifold endowed with a nonsingular Killing vector field. Finally, we prove the existence of hyperspheres with prescribed anisotropic mean curvature in the Euclidean space, extending a previous result of Treibergs and Wei.Neste trabalhamos investigamos a existência de hipersuperfícies com curvatura prescrista num contexto amplo. Inicialmente estudamos o problema de Dirichlet para uma equação totalmente não-linear do tipo curvatura, definida em uma variedade Riemanniana. Este problema está intimamente relacionado a existência de hipersuperfícies com curvatura e bordo prescritos. Neste contexto obtemos alguns resultados que estendem para uma variedade Riemanniana resultados obtidos anteriormente por Caffarelli, Nirenberg, Spruck e Bo Guan para o espaço Euclideano. Investigamos também a existência de hipersuperfícies com curvatura média anisotrópica prescrita. Estabelecemos a solubilidade do problema de Dirichlet relacionado a equação da curvatura média anisotrópica prescrita. Este resultado assegura a existncia de gráficos de Killing com curvatura média anisotrópica e bordo prescritos numa variedade Riemanniana dotada com um campo de Killing sem singularidades. Finalmente, provamos a existência de hiperesferas com curvatura média anisotrópica prescrita no espaço Euclideano, estendendo o resultado obtido Treibergs e Wei para a curvatura média usual