Cotas para o número máximo de retas duas a duas disjuntas em uma família S

Let r(S) be the maximum number of pairwise disjunct lines that a non-singular surface S ⊂ P3 contains and rd = max {r(S) | deegre(S) = d}. Ensure that r(S) = 6 for all non-singular cubic surface S, therefore r3 = 6. For d = 4, r4 = 16, it was showed by the Russian mathematician Viacheslav Nikulin in [9]. We quote that Rojas-Santos in [7], obtained that r(F) = 16 if F is the Schur’s quartic. At the moment rd is unknown for d ≥ 5. In this work we aim to present bounds for the maximum number of two-by-two disjunct straight lines in the family S whose members are the deegre d non-singular surfaces Sd ⊂ P3 definided by φ(x0,x1)−φ(x2,x3) being φ(u,v) = uv(ud−2−vd−2) and d ≥ 5. In fact, for d odd we show that r(Sd) = d(d−2) + 4, however Boiss´ere-Sarti proved that r(Sd) ≥ d(d−2) + 4 when d is odd and d ≥ 7 in [3]. For the even case, we obtain d(d−2) + 4 ≤ r(Sd) ≤ d(d−2) + d2 2 if d 6= 6 and r(S6) = 48. Considering the bound rd ≤ d(d−2) for all d ≥ 4 given by the Japanese mathematician Miyaoka in [8], we conclude as soon as r6 = 48.Conselho Nacional de Pesquisa e Desenvolvimento Científico e Tecnológico - CNPqSejam r(S) a quantidade máxima de retas duas a duas disjuntas que a superfície não singular S ⊂P3 pode conter e rd =max{r(S) | grau(S) = d}. Verifica-se que r(S) = 6 para toda superfície cúbica não singular S, logo r3 = 6. Para d = 4, r4 = 16, conforme foi demonstrado pelo matemático russo Viacheslav Nikulin em [9]. Salientamos que Rojas-Santos em [7], mostraram que r(F) = 16 se F for a quártica de Schur. No momento rd é desconhecido se d ≥ 5. Neste trabalho, objetivamos apresentar cotas para o numero máximo de retas duas a duas disjuntas na família S, sendo S formada pelas superfícies não singulares Sd ⊆ P3 de grau d, definidas por φ(x0,x1)−φ(x2,x3) sendo φ(u,v) = uv(ud−2 − vd−2) e d ≥ 5. De fato, no caso d´ ímpar mostramos que r(Sd) = d(d−2)+4 sendo que Boiss´ere-Sarti mostraram que r(Sd) ≥ d(d−2)+4 se d é ímpar e d ≥ 7 em [3]. E no caso d par, mostramos que d(d−2)+4 ≤ r(Sd) ≤ d(d−2)+ d2 2 se d 6= 6 e r(S6) = 48. Tendo em consideração a cota do matemático japonês Miyaoka em [8] tem-se rd ≤ 2d(d−2) para todo d ≥ 4, concluímos assim que r6 = 48