Solvability for a Class of Schrodinger Equations with Periodic Potential

In this thesis we study the existence of solutions for a class of semilinear Schr¨odinger equations of the form −∆u + V (x)u = f¯(x, u), x ∈ RN , where N ≥ 2, the potential V is a 1-periodic continuous function. In dimension N ≥ 3, we assume that 0 lies in a spectral gap of the Schr¨odinger operator S = −∆+V and the nonlinearity is from concave and convex type. In dimension N = 2, we assume that 0 lies in a spectral gap or on the boundary of a spectral gap of S and we deal with nonlinearities having exponential growth in the Trudinger-Moser sense. We treat the case where f¯(x, t) is periodic as well as the nonperiodic one. The proofs relies on variational setting, by using linking-type theorems, some Trudinger-Moser inequalities and concentration-compactness principles.NenhumaNesta tese estudamos existência de soluçõoes para uma classe de equaçõoes de Schrodinger semi- lineares da forma −∆u + V (x)u = f¯(x, u), x ∈ RN , onde N ≥ 2, o potencial V ´e contínuo e 1-períodico. Em dimensão N ≥ 3, assumimos que 0 localiza-se em algum gap espectral do operador de Schr¨odinger S = −∆ + V e lidamos com n˜ao linearidades do tipo côncavo-convexo. Em dimensão N = 2, supomos que 0 localiza-se em algum gap espectral ou fronteira de algum gap do operador S e as não linearidades possuem crescimento exponencial no sentido de Trudinger-Moser. Abordamos os casos em que f¯(x, t) é periódica e não periódica. Nossa abordagem é variacional, utilizamos teoremas de linking, desigualdades do tipo Trudinger-Moser e princípios de concentração de compacidade