Estudos de eficiência em buscas aleatórias unidimensionais

Neste trabalho investigamos o problema do caminhante aleatório unidimensional como modelo para encontrar que distribuição de probabilidades é a melhor estratégia a ser utilizada na busca por sítios-alvos aleatoriamente distribuídos, cuja localização é desconhecida, na situação em que o buscador tem informação limitada sobre sua vizinhança. Embora tal problema tenha surgido na década de 1960, uma nova motivação surgiu nos anos 1990 quando dados empíricos mostraram que várias espécies de animais, sob condições gerais (especialmente escassez de comida), não usam estratégias brownianas de busca, mas sim distribuições de Lévy. A principal diferença entre elas é que as distribuições de Lévy decaem muito mais lentamente com a distância (com cauda do tipo lei de potência no limite de longos passos), não obedecendo, portanto, ao Teorema do Limite Central, e apresentam propriedades interessantes, como fractalidade, superdifusão e autoafinidade. Estes experimentos, juntamente com conceitos evolucionistas, levantaram a suspeita de que tal escolha pode ter sido adotada por ser mais vantajosa para o buscador, uma idéia conhecida como Lévy Flight Foraging Hypothesis. Em nosso estudo, definimos a eficiência da busca e obtemos a sua expressão analítica para o modelo. Utilizamos métodos computacionais para comparar as eficiências associadas às distribuições de Lévy e duas outras dentre as mais citadas na literatura, a gama e a "stretched exponential", concluindo que a de Lévy representa a melhor estratégia. Finalmente, empregamos métodos variacionais de extremização e obtemos a equação de Euler do problema.In this work we study the one-dimensional random walk problem as a model to find which probability distribution function (pdf) is the best strategy when looking for randomly istributed target sites whose locations are not known, when the searcher has only limited information about its vicinity. Although research on this problem dates back to the 1960’s, a new motivation arose in the 1990’s when empirical data showed that many animal species, under broad conditions (especially scarcity of food), do not use Brownian strategies when looking for food, but Lévy distributions instead. The main difference between them is that the Lévy distribution decay much slower with distance (with a power-law tail in the long-range limit), thereby not obeying the Central Limit Theorem, and present interesting properties, like fractality, superdiffusivityand self-affinity. These experiments, coupled with evolutionary concepts, lead to suspicions that this choice might have been adopted because it is more advantageous for the searcher, an idea now termed as the Lévy Flight Foraging Hypothesis. To study the problem, we define a search efficiency function and obtain its analytical expression for our model. We use computational methods to compare the efficiencies associated with the Lévy and two of the most cited pdfs in the literature, the stretched exponential and Gamma distributions, showing that Lévy is the best search strategy. Finally, we employ variational extremization methods to obtain the problem’s Euler equation