Estudos da entropia de Shannon em buscas aleatórias unidimensionais

FACEPENeste trabalho realizamos um estudo do comportamento da entropia de Shannon associada ao problema do caminhante aleatório unidimensional em busca por sítios-alvo cuja localização é desconhecida (problema da busca aleatória ou (random search). Um de nossos principais objetivos foi investigar se o mecanismo que rege a maximização da eficiência da busca em situações específicas e para determinadas distribuições de tamanhos de passos implica diretamente em uma possível extremização (maximização ou minimização) da entropia de Shannon associada. Nós estudamos três das principais quantidades (eficiência, probabilidades do caminhante encontrar cada sítio-alvo e a entropia de Shannon) relevantes ao problema da busca aleatória. Utilizando técnicas e conceitos da Física Estatística conseguimos abordar e modelar o problema da busca aleatória, sendo a nossa principal fonte de inspiração o problema ecológico da busca de alimentos por diversas espécies deanimais (problema do foraging). Realizamos a análise descrita para três distribuições de probabilidades de tamanhos de passos do buscador: distribuição do tipo lei de potência / Lévy e as distribuições hiperexponenciais simples e dupla. Obtivemos uma expressão analítica para a distância média percorrida entre dois encontros sucessivos e para a eficiência da busca. Calculamos também as probabilidades do buscador encontrar os sítios-alvo em uma dimensão, as quais permitem obter a entropia de Shannon associada ao problema da busca. Analisamos ambos os casos de buscas não-destrutivas, em que um dos sítios-alvo encontra-se inicialmente próximo ao buscador, e buscas destrutivas, em que ambos os sítios encontram-se distantes do ponto de partida da busca. Concluímos que o mecanismo que maximiza a eficiência da busca não-destrutiva de Lévy e da exponencial dupla não impacta a entropia de Shannon associada, a qual apresenta um comportamento monotônico (sem nenhum extremo, seja máximo ou mínimo) mesmo quando a eficiência atinge um máximo. Além disso, encontramos que a distribuição de passos do tipo exponencial dupla pode ser mais eficiente do que a distribuição de Lévy em determinados contextos das buscas não-destrutivas, confirmando resultados previamente publicados.In this work we study the behavior of the Shannon entropy associated with the problem of the one-dimensional random walker in search of target sites whose location is unknown (the random search problem). One of our main objectives is to investigate whether the mechanism governing the maximization of the search efficiency in specific situations and for certain distributions of step lengths directly implies a possible extremization (maximization or minimization) of the associated Shannon entropy. We study three of the major quantities (efficiency, probabilities to find each target site and Shannon entropy) relevant to the random search problem. Using the techniques and concepts of Statistical Physics we have been able to approach and model the problem of random searches, whose main source of inspiration was the ecological problem of the search for food by several species of animals (the foraging problem). We perform the analysis for three distributions of probabilities of step sizes of the searcher: power law / Lévy distribution and the simple and double hyperexponential distributions. We obtain an analytical expression for the mean distance traveled between two successive encounters and for the efficiency of the search. We also calculate the probabilities of the searcher to find the target sites in one dimension, which allow to obtain the Shannon entropy associated with the search problem. We analyze both cases of non-destructive searches, in which one of the target sites is initially close to the searcher, and destructive searches, in which both sites are far from the starting point of the search. We conclude that the mechanism that maximizes the efficiency of the non-destructive search of Lévy and double exponential distributions does not impact the associated Shannon entropy, which presents a monotonic behavior (with no extreme, either maximum or minimum) even when the efficiency reaches a maximum. In addition, we found that the double-exponential distribution can be more efficient than the Lévy distribution in certain contexts of the non-destructive searches, thus confirming previously published results