Ideais fortemente irredutíveis sobre anéis comutativos com unidade

CNPqNeste trabalho apresentamos as propriedades básicas dos ideais fortemente irredutíveis sobre anéis comutativos com unidade. Apresentamos também a relação entre ideais irredutíveis, ideais fortemente irredutíveis e ideais primários. Estudamos anéis aritméticos e a relação de ordem que os ideais destes anéis devem satisfazer ao serem estendidos em localizações no anel de frações para ideais primos. Caracterizaremos os ideais fortemente irredutíveis em anéis aritméticos, domínios fatoriais e anéis noetherianos, sendo este último caso para ideais não primos. Demonstramos a importância das hipóteses para cada tipo de anel e/ou ideal por meio de contraexemplos, deste modo explorando vários tipos de particularidades que podem surgir das definições abordadas. Destaque especial para o resultado que garante que, em um anel aritmético, todo ideal fortemente irredutível possui radical primo, e para nossa construção de um ideal fortemente irredutível cujo radical não é primo (feita em um anel não-aritmético), onde fazemos uso da ferramenta de idealização de módulos abordada nas noções iniciais desta dissertação.In this work we present the basic properties of strongly irreducible ideals in commutative rings with unity. We also exhibit the relationship between irreducible, strongly irreducible and primary ideals. We study arithmetical rings and the order relation that the ideals of such rings must satisfy after extension at localization at prime ideals. We characterize strongly irreducible ideals in arithmetical rings, UFDs and Noetherian rings, the latter case being that of nonprime ideals. We show the importance of the hypotheses for each kind of ring and/or ideal through counterexamples, exploring in this way the various types of particularities that can raise from the definitions considered. Special mention for the result that guarantees that, in an arithmetical ring, every strongly irreducible ideal has prime radical, and for our construction of a strongly irreducible ideal whose radical is nonprime (in a nonarithmetical ring), where we use the machinery of idealization of modules, which is treated on the preliminaries of this dissertation