Noncommutative Noether´s problem

Neste trabalho, temos o objetivo de introduzir o Problema de Noether Clássico e sua versão não- comutativa introduzida por J. Alev e F. Dumas em [AD06]. Discutiremos os principais casos co- nhecidos nos quais os problemas têm solução positiva, observando um forte paralelo entre os casos comutativo e não-comutativo. Cobriremos os tópicos preliminares necessários para entendimento dos enunciados: álgebras de Weyl, anéis de operadores diferenciais, extensões de Ore, localização em domínios não-comutativos, e corpos de Weyl. No Capítulo 5 deste trabalho, o aluno apresenta duas contribuições originais, obtidas em colaboração com seu orientador V. Futorny e F. Eshmatov: o Teorema 5.5, que é um resultado folclórico sobre invariantes de ações livres de grupos finitos no anel de operadores diferenciais de variedades afins; e o Teorema 5.6, que até onde sabemos é iné- dito, sobre invariantes dos Corpos de Weyl sob a ação de grupos de pseudo-reflexão. Todo material algébrico preliminar para a demonstração destes dois teoremas é incluído no texto da dissertação: um básico de teoria de invariantes, vários resultados da teoria de grupos de pseudo-reflexão, alguns conceitos básicos de geometria algébrica e álgebra comutativa, e uma discussão detalhada do quo- ciente de variedades afins sob ação de grupos finitos.In this work we aim to introduce the Classical Noether´s Problem, and its noncommutative version introduced by J. Alev and F. Dumas in [AD06]. We discuss the most well known cases of positive solution of these problems, pointing out a strong similarity between the cases of positive solution for the classical and noncommutative versions of the Problem. We cover the preliminary topics to understand the statement and solutions of these problems: Weyl algebras, differential operators rings, Ore extensions, noncommutative localization, and Weyl Skew-Fields. In the Chapter 5 of this dissertation, the student shows two original contributions, obtained in collaboration with his advisor V. Futorny and F. Eshmatov: Theorem 5.5, a result belonging to the folklore of the area of differential operators, describing its invariants under the free action of a finite group on an affine variety; and Theorem 5.6, about the invariants of the Weyl skew-fields under the action of pseudo-reflection groups. As far as we know, this result is new. All preliminary algebraic facts to prove these two facts are included in the body of this text. It includes some basic facts on invariant theory, many results about pseudo-reflection groups, some basic concepts of algebraic geometry and commutative algebra, and a detailed discussion of the quotient of an affine variety under the action of a finite group