Hypercentral units in group rings

Grande parte dos problemas em Anéis de Grupo centraliza-se em torno do estudo do seu grupo de unidades. Torna-se importante então conhecermos a estrutura do grupo de unidades de um anel de grupo U(ZG). No entanto, salvo raras exceções, pouco se conhece acerca da estrutura de U(ZG). Uma das idéias para se conhecer um pouco mais sobre a estrutura do grupo de unidades seria estudarmos a sua série central superior. No caso em que o grupo G é finito, um resultado de Gruenberg pode ser usado para mostrar que a série central superior de U = U(ZG) estaciona. Este fato nos possibilita estudarmos o hipercentro de U(ZG). A fim de obter mais informações sobre as unidades hipercentrais de U(ZG), nós necessitamos de uma descrição dos subgrupos de torção do hipercentro de U(ZG), o qual obtemos através dos resultados de Bovdi sobre os subgrupos normais periódicos de U(ZG). De modo geral, utilizando os resultados de Bovdi obtemos uma classificação dos grupos periódicos G em função do subgrupo dos elementos % de torção do hipercentro de U(ZG). Neste momento, surgem algumas perguntas, as quais procuraremos expor neste trabalho. Entre elas: O limitante superior para a série central superior de U(ZG) depende do grupo G? Como determinar a altura central superior de U(ZG)? Neste momento é interessante salientarmos como a Conjectura do Normalizador nos possibilita obtermos uma estimativa para a altura central de U(ZG). Todas estas perguntas são respondidas no capítulo 4, como resultado dos trabalhos de Arora, Hales, Passi que nos garantem que neste caso a altura central de U(ZG) é no máximo 2. Embora a demonstração original deste fato, devido a Arora, Hales e Passi, não tenha utilizado a Conjectura do Normalizador, tomamos neste trabalho a idéia de supormos um provável caminho que levasse a este resultado obtendo estimativas para a altura central de U(ZG) utilizando a Conjectura do Normalizador e um teorema de Gross. Nosso intuito com isso foi o de conectarmos a resolução do problema em questão com um problema de pesquisa intensa atual na área, ou seja, a Conjectura do Normalizador. Nesse caso, surge mais uma pergunta: Quais os grupos G tais que U(ZG) admite altura central exatamente 0, 1 ou 2? Pergunta que é respondida por Arora, Hales e Passi também. Finalmente, mais um resultado de Arora, Hales e Passi nos mostram uma caracterização do hipercentro de U(ZG) que surpreendentemente bate com a estimativa dada pela Conjectura do Normalizador. É interessante notar aqui o aparecimento da Conjectura do Normalizador tanto para obtermos uma estimativa da altura central de U(ZG) como na caracterização do hipercentro de U(ZG). No capítulo 5 apresentamos a generalização dos resultados de Arora, Hales e Passi para o caso em que o grupo G é periódico, cujos resultados se devem basicamente a Y.Li. No caso em que o grupo G é periódico, Li mostrou que a altura central de U(ZG) é no máximo 2. E introduzindo o conceito de n-centro de um grupo, obtém-se uma caracterização do n-centro de U(ZG) em função dos resultados sobre o hipercentro do grupo de unidades.A great deal of problems in Group Rings centralize around the study of its group of units. Hence it becomes important to know the structure of the group of units U(ZG). But with a few exceptions, we do not have much information about its structure. Trying to obtain more information about the structure of U(ZG), we could, for example, study the upper central series of U(ZG). In case G is finite, a result of Gruenberg implies that U(ZG) has finite central height. This fact allow us to study the hypercenter of U(ZG). In order to obtain more information about the hypercentral units of U(ZG) we need a description of the torsion subgroup of the hypercenter of U(ZG) which is provided by results of Bovdi on periodic normal subgroups of U(ZG). Gruenberg\'s result suscites some questions which we will try to answer in this work. Among them: The upper bound for the upper central serie of U(ZG) depends on of the group G? How could we determine the central height of U(ZG)? It is interesting to see how we could obtain an estimative for the central height of U(ZG) using the Normalizer Conjecture. All these questions are answered in chapter 4, as a consequence of Arora, Hales and Passi\'s work which guarantees us that in this case the central height of U(ZG) is at most 2. Nevertheless this result of Arora, Hales and Passi doesn\'t use the Normalizer Conjecture, we suppose here that the Normalizer Conjecture holds and used a result of Gross to obtain estimatives to the central height of U(ZG). Our aim was to connect the question discussed ahead with a intensive research problem, the Normalizer Conjecture. This arises the following question: For which groups does U(ZG) have central height exactly 0, 1 or 2? This question is also answered by Arora, Hales and Passi. Finally, another result of Arora, Hales and Passi present us a characterization of the hypercenter of U(ZG), which surprisingly satisfies the condition presented in the Normalizer Conjecture. It is interesting to observe here the appearing of Normalizer Conjecture to obtain an estimative for the central height of U(ZG) and to obtain a characterization of the hypercenter of U(ZG). In chapter 5 we present a result of Li which generalizes the result of Arora, Hales and Passi to the case when G is a periodic group. He proves that the central height of U(ZG) is also at most 2. Introducing the concept of n-center he was able to use the results about the hypercenter of U(ZG) to obtain a characterization of the n-center of U(ZG)