Continuous and discrete stochastic models applied to finance

Os modelos do volatilidade estocástica (MVE) são bastante utilizados pela sua semelhança com os modelos habitualmente usados na Teoria Financeira. Nos MVE a volatilidade independe dos retornos passados e é modelada como uma variável latente não observada, através de uma componente preditível e outra aleatória. A função de verossimilhança desses modelos é difícil de ser obtida e maximizada. Neste trabalho descrevemos as suposições em que os modelos do difusão para séries de retornos se baseiam, assim como as suposições tomadas pela modelagem discreta. Apresentamos os MVE e alguns de seus métodos de estimação. Tratamos de dois modelos contínuos, do algumas do suas propriedades e também do dois MVE discretos que convergem para tais contínuos. Trabalhamos com uma aproximação linear de um deles, apresentando o filtro de Kalman, e sua verossimilhança obtida depois da filtragem. O algoritmo de Metropolis-Hastings foi empregado na abordagem da verossimilhança, assim como na bayesiana do caso linear. Utilizamos o filtro estendido do Kalman combinado com a aproximação do Laplace na construção da função do verossimilhança dos dois MVE abordados neste trabalho.The stochastic volatility models (SVM) are quite habitually used by their simiilaritv with the models used in the Financial Theory. In them the volatility is described through their last values and it does not depend on the last returns. The likelihood function of SV is difficult of being obtained and maximizecl. In this paper, we have described the hypothesis in which the diffusion models for series of returns are based, as well as the suppositions taken by the discrete modelling. We presented SVM and some of their estimate methods. We treated of two continuous models, of some of their properties and also of two discrete SVM that converge for the continuous ones. We worked with a linear approach of one of them, presenting the Kalinan filter, and it.s likelihood obtained alter the filtration. The Metropolis-Hastings algorithm was used in the approach of the likelihood, as well as in the Bayesian of the linear case. We used t.he extended Kahnan filter combined wit.h the Laplace approxiniation in the construction of the likelihood function of the two SVM approached in this work