Matriz de covariância corrigida para os modelos não-lineares da família exponencial

Tese (doutorado) - Universidade Federal de Santa Catarina, Centro Tecnológico. Programa de Pós-graduação em Engenharia de ProduçãoOs modelos n#ao-lineares da fam´ýlia exponencial ´e uma extens#ao dos modelos lineares generalizados, permitindo que o preditor da m´edia seja n#ao-linear. Esses modelos, por serem menos restritivos, t#em sido utilizados para modelar sistemas produtivos como mais uma ferramenta na tomada de decis#ao. Usualmente, os par#ametros desses modelos s#ao estimados pelo m´etodo de m´axima verossimilhan¸ca, que t#em propriedades assint´oticas de O(n-1), onde n ´e o tamanho da amostra. Portanto, para tamanhos de amostras pequenos, pode haver erros consider´aveis, nas infer#encias. Essa Tese tem como objetivo obter uma express#ao anal´ýtica para a matriz de covari#ancia de segunda ordem do estimador de m´axima verossimilhan¸ca para os par#ametros dos modelos n#ao-lineares da fam´ýlia exponencial que contribuir´a no procedimento de infer#encia da verossimilhan¸ca, quando o tamanho da amostra ´e pequeno. Esse estimador, que nada mais ´e do que uma corre¸c#ao do que vem sendo utilizado, tem propriedades assint´oticas de O(n-2). A metodologia adotada consistiu em obter os cumulantes desses modelos e substitu´ý-los na fun¸c#ao geratriz dos cumulantes, que, pela propriedade de invari#ancia sob permuta¸c#ao de ´ýndices nos modelos n#ao-lineares da fam´ýlia exponencial, pode ser simplificada e expressa em termos de matrizes. A express#ao obtida ´e de f´acil implementa¸c#ao computacional, uma vez que consiste de opera¸c#oes com matrizes. O estimador de segunda ordem da matriz de covari#ancia foi avaliado por um estudo de simula¸c#ao que mostrou que esse ´e indispens´avel para amostras de tamanho pequeno a moderado. Para ilustrar o uso da t´ecnica proposta, uma aplica¸c#oes na avalia¸c#ao da qualidade do papel cujo modelo que descreve a vari´avel resposta grau de refino das fibras ´e log-linear e componente aleat´oria gama. Nessa aplica¸c#ao evidenciou-se a necessidade dos estimadores de O(n-2). The exponential family non-linear models are an extension of the generalized linear models, allowing the average predictor to be non-linear. These models, for being less restrictive, have been used to model productive system, being one more tool on the decision-making. Usually, the parameters of these models are estimated through the maximum likelihood method, which have asymptotic properties of n-1 order, where n is the sample size; thus, for small sample sizes, there might be considerable errors in the inferences. This work has the objective to obtain an analytic expression for the covariance matrix of second-order of the maximum likelihood estimator for the exponential family non-linear models, which will contribute to the likelihood inference proceeding when the sample size is small. This estimator, which is anything but a correction of what has been used, has asymptotic properties of O(n-2). The adopted methodology consisted in developing the cumulative of these models and substituting them in the cumulative generative function that, through the invariance property under index permutation in the exponential family models, may be simplified and expressed in matrix terms. The obtained expression is easily computational-implemented, seen that it consists in matrix operations. The covariance matrix second-order estimator was evaluated through a simulation study, which showed that this is indispensable for samples from small to moderate size. In order to illustrate the use of the proposed technique, one application in paper quality, whose model that describes the answer variable fiber refining degree is log-linear, and gamma random component. Into these application, the necessity of O(n-2) estimators was evidenced