Modelos de espaço de estados não Gaussianos: distribuições de caudas pesadas

Esta tese contém três artigos que ampliam os conhecimentos sobre uma nova família de modelos de espaços de estados proposta por Santos et al. (2010) denominada non-Gaussian state space model (NGSSM). Esta família de modelos é muito interessante porque, além de conter um conjunto significativo de distribuições de probabilidade, tem-se a função de verossimilhança analiticamente, e por consequência há a possibilidade de realizar inferência sobre os parâmetros sem a necessidade de métodos numéricos aproximados, como o filtro de partícula. No primeiro artigo são propostas outras cinco distribuições de causas pesadas como casos particulares da NGSSM, além das distribuições Weibull e Pareto propostas por Santos et al. (2010). São elas: Log-normal, Log-gama, Fréchet, Lévy, Skew GED. São realizadas simulação Monte Carlo para avaliação dos estimadores clássicos e bayesianos para os modelos de caudas pesadas. Os resultados demonstram, empiricamente, que os estimadores são não viesados assintoticamente e consistentes. Os modelos de caudas pesadas são estimados para as séries dos índices das mais importantes bolsas de valores da América - S&P 500, NASDAQ, IBOVESPA, INMEX, MERVAL, IPSA - e os resultados são comparados com modelos da família GARCH. O modelo Weibull da NGSSM apresenta melhores resultados para todas as séries estudadas. No segundo artigo é avaliado o comportamento do estimador de máxima verossimilhança para os parâmetros dos modelos de caudas pesadas quando as séries temporais são pequenas. Observa-se que um dos parâmetros, w, é sempre sobreestimado, independentemente do modelo e do algorítmo de maximização utilizados. A obtenção de um estimador adequado para w é fundamental, pois quando este parâmetro é sobreestimado a variabilidade das séries temporais é subestimada. Funções de penalização para a função de verossimilhança são propostas e, por consequência, estimadores de máxima verossimilhança penalizada são propostos e avaliados. Os resultados demonstram que os estimadores propostos apresentam uma redução significativa do viés em relação aoobservado pelo estimador de máxima verossimilhança. No terceiro artigo é avaliado o comportamento do intervalo de confiança assintóticodos parâmetros dos modelos de caudas pesadas quando as séries são pequenas. Observa-se que os intervalos de confiança para o parâmetro w são inadequados, seja utilizando o estimador de máxima verossimilhança ou o estimador de máxima verossimilhançapenalizado. Em razão disto são propostos e avaliados intervalos de confiança bootstrap. Os resultados demonstram que o intervalo de confiança bootstrap com correção de viés obtido a partir do bootstrap paramétrico apresentam taxas de cobertura muito próximas da taxa nominal utilizada no estudo empírico.This thesis contains three papers that expand the knowledge about a new family of state space model proposed by Santos et al. (2010) called non-Gaussian state space model (NGSSM). This family of models is very interesting because, besides containing a significant set of probability distributions, the likelihood function can be written in an exact form. Consequently, there is the possibility of performing inference about theparameters without the need of numerical methods, such as the particle filter. In the first paper it is shown that besides Weibull and Pareto proposed in the Santos et al. (2010) paper, five other heavy tailed distributions are contained in the NGSSM. They are: Log-normal, log-gamma, Fréchet, Lévy, Skew GED. To evaluate classical and Bayesian estimators for heavy tailed models of the NGSSM Monte Carlosimulations are performed. The results demonstrate empirically that the estimators are not asymptotically biased and they are consistent. The heavy tailed models are estimated for the series of the most important stock exchange indexes of America, such as S&P 500, NASDAQ, IBOVESPA, INMEX, MERVAL, IPSA. The results are compared with the GARCH models and it is observed that the Weibull model of NGSSM shows better results for all time series studied. In the second paper, it is evaluated the behavior of the maximum likelihood esti-mator of the parameters of the heavy tailed models when the time series is small. It isobserved that the parameter w is always overestimated, regardless the model and the maximization algorithm used. Obtaining a suitable estimator for w is critical, because when this parameter is overestimated the variability of the time series is underestimated. Penalty functions are proposed for the likelihood function and, consequently, penalizedmaximum likelihood estimators are proposed and evaluated. The results demonstrate that the estimators proposed reduce significantly the bias when compared with the bias obtained by the maximum likelihood estimator. In the third paper it is evaluated the behavior of the asymptotic confidence interval of the parameters of the heavy tailed models when the time series is small. It is observed that the confidence intervals for the parameter w are inadequate, either using the maximum likelihood estimator or penalized maximum likelihood estimator. Thus bootstrapconfidence intervals are proposed and evaluated. The results show that the bootstrap confidence interval with bias correction obtained from the parametric bootstrap has coverage rates very close to the nominal level used in the empirical study