Shape analysis for inverse problems

Denne oppgaven undersøker problemet med å invertere Radon-transformasjonen av en form, hvor vi kun har tilgjengelig data fra et fåtall vinkler i et begrenset intervall. For å løse dette foreslår vi en regulariseringsfunksjonal, hvor straffeleddet av funksjonalen er basert på forskjellen i krumningsenergien mellom den rekonstruerte kurven og en a priori gjetning. Den illestilte operatorlikningen approksimeres med et minimeringsproblem som involverer den foreslåtte regulariseringsfunksjonalen. For å håndtere ikke-deriverbarheten til funksjonalen utleder vi en glatt approksimasjon, før vi implementerer en metode for å løse problemet numerisk. Den rekonstruerte løsningen blir så brukt som a priori gjett neste gang vi minimerer funksjonalen, og dette repeteres så for et bestemt antall iterasjoner. De numeriske eksperimentene viser at, med mindre vi har en veldig god initialisering av formen, de beste rekonstruksjonene oppnås med en viss grad av regularisering. Dette resultatet er enda tydeligere når det er tilfeldig støy i den tilgjengelige dataen