Etude des équations stationnaires de Stokes et Navier-Stokes dans des domaines extérieurs

Nous étudions quelques problème mathémathiques posées par la modélisation d'écoulements de fluides visqueux incompressibles autour d'un obstacle borné, dans l'approximation stationnaire et pour un fluide au repos à l'infini. On dispose alors de modèles classiques avec les systèmes d'équations aux délivrées partielles de Stockes (linéaire) et de Navir-Stokes (non-linéaire), ici posés dans de domaines extérieurs. La prémière partie est consacrée au problème de Stokes. On y discute l'existance et l'unicité des solutions avec une croissance ou une décroissance donnée à l'infini grâce à l'utilisation d'espaces de Sobolev avec poids. Nous étudions aussi, dans le même cadre fonctionnel, quelques propriétés des champs de vecteurs à divergence nulle. Les résultats sont établis tout d'abord dans l'espace entier, puis dans un domaine extérieur. Le seconde partie est dédiée aux équations stationnaires de Navier-Stokes dans les domaines estérieurs. Nous y prouverons, en dimensions trois, des résultats de régularité des solutions faibles de ce problème qui permettent de vérifier la condition de repos à l'infini. En dimension deux, on détaille les propriétés asymptotiques d'une famille de solutions vérifiant certaines conditions de symétrie. Grâce à approche différente basée sur le théorème de point de Banach, nous obtenons, en dimention trois et pour des données suffisamment petites, l'existence et l'unicité d'une solution qui décroît rapidement et établissons un développement asymptotique de celle-ci