Diffusion in discrete structure

Budeme se zabývat dynamickými systémy v diskrétním prostředí, které budeme modelovat neorientovanými grafy. Jako výchozí bod uvedeme zákon zachování, z něhož podrobně odvodíme difuzní rovnici na daném grafu. Zanalyzujeme model, který je řízen lineárním zákonem na grafu o dvou a více vrcholech, jako příklady uvedeme rovnice na kružnici a cestě. V poslední části představíme model difuze dané vybraným nelineárním zákonem na grafu o dvou vrcholech. Kromě difuze mezi vrcholy postupně přidáme různé kombinace exponenciální a logistické vnitřní dynamiky v jednotlivých vrcholech. Zaměříme se především na kvalitativní vlastnosti zkoumaných systémů, a to především klidové stavy a jejich stabilitu.ObhájenoWe deal with dynamic systems in a discrete structure, which we model by undirected graphs. As a starting point, we present the conservation law, from which we deduce the diffusion equation on a given graph in detail. We analyze the model, which is operated by a linear law on a graph of two or more vertices, as examples we present equations on a~cycle and a path. In the last part, we present a model of diffusion operated by a selected nonlinear law on a graph with two vertices. In addition to the diffusion between the vertices, we gradually add various combinations of exponential and logistic internal dynamics in the individual vertices. We focus mainly on qualitative properties of the investigated systems, especially on equilibria and their stability