Partitions planes cylindriques, lambda déterminants, les commutateurs dans l’algèbre engendrée par un système semi-circulaire

This thesis is divided into three parts. The first part deals with cylindric plane partitions. The second with lambda-determinants and the third with commutators in semi-circular systems. Cylindric plane partitions may be thought of as a natural generalization of reverse plane partitions. A generating series for the enumeration of cylindric plane partitions was recently given by Borodin. The first result of section one is a new bijective proof of Borodin's identity which makes use of Fomin's growth diagram framework for generalized RSK correspondences. The second result is a (q, t)-analog of Borodin's identity which extends previous work by Okada in the reverse plane partition case. The third result is an explicit combinatorial interpretation of the Macdonald weight occuring in the(q, t)-analog using the non-intersecting lattice path model for cylindric plane partitions. Alternating sign matrices were discovered by Robbins and Rumsey whilst studying λ-determinants. In the second part of this thesis we prove a multi-parameter generalization of the λ-determinant, generalizing a recent result by di Francesco. Like the original λ-determinant, our formula exhibits the Laurent phenomenon. Semicircular systems were first introduced by Voiculescu as a part of his study of von Neumann algebras. In the third part of this thesis we study certain commutator sub algebras of the semicircular system. We find a projection matrix with an interesting self-similar structure. Making use of our projection formula we given an alternative, elementary proof that the semicircular system is a factorCette thèse se compose de trois parties. La première partie est consacrée aux partitions planes cylindriques, la deuxième aux lambda-déterminants et enfin la troisième aux commutateurs dans les systèmes semi-circulaires. La classe des partitions planes cylindriques est une généralisation naturelle de celle des partitions planes inverses. Borodin a donnée récemment une série génératrice pour les partitions planes cylindriques. Notre premier résultat est une preuve bijective de cette identité utilisant les diagrammes de croissance de Fomin for la correspondance RSK généralisée. Le deuxième résultat est un (q, t)-analogue de la formule de Borodin, qui généralise un résultat d'Okada. Enfin le troisième résultat de la première partie est une description combinatoire explicite du poids de Macdonald intervenant dans cette formule, qui utilise un modèle de chemins non-intersectant pour les partitions planes cylindriques. Les matrices à signes alternants ont ́été découvertes par Robbins et Rumsey alors qu’ils étudiaient les λ-déterminants. Dans la deuxième partie de cette thèse nous démontrons une généralisation à plusieurs paramètres de ce λ-déterminant, généralisant un résultat récent de di Francesco. Comme le λ-déterminant, notre formule est un exemple du phénomène de Laurent. Les systèmes semi-circulaires ont ́été introduits par Voiculescu afin d' ́étudier les algèbres de von Neumann des groupes libres. Dans la troisième partie de la thèse, nous étudions les commutateurs dans l'algèbre engendré par un système semi-circulaire. Nous avons mis en ́évidence une matrice possédant une structure auto-similaire intéressante, qui nous permet de donner une formule explicite pour la projection sur l'espace des commutateurs de degré donnée. En utilisant cette expression, nous donnons une preuve simple du fait que les systèmes semi-circulaires engendrent des facteur