Classification des composantes connexes des strates de l'espace des modules des différentielles quadratiques

CERVEAU Dominique, ARNOUX Pierre, GUIVARC'H Yves, HUBERT Pascal KONTSEVICH MaximIn this thesis, we study dynamics of the Teichmüller geodesic flow. The origin of this study lies of a very important class of dynamical systems, namely the so-called interval exchange transformations. In classical works in 1982, Masur and Veech has discovered that dynamics of those transformations of the interval is related with the dynamics of the Teichmüller geodesic flow on the moduli spaces of complex curves. The phase space of this flow can be seen as the moduli space of quadratic differentials on a surface. These spaces are naturally stratified by the type of singularities of those differentials. Morever, these strata are preserved by the action of the Teichmüller geodesic flow. Classical results say that these strata carry a natural complex orbifolds structure and are non-empty and non-connected in « general ». The motivation of this work in this thesis come from a fundamental result, proved independently by Masur and by Veech (1982), which says that the Teichmüller geodesic flow acts ergodically on each connected component of each (normalized) stratum, with respect to a finite mass measure preserving. Kontsevich and Zorich have classified the connected components of the strata of the moduli space of Abelian differentials Hg. In this thesis, we give the precis description of the connected components of the strata in the complementary case of Kontsevich-Zorich; that is we describe component of any stratum of the moduli space of quadratic differentials Qg which are not the global square of any Abelian differential. Moreover, we give an explicit formula for the parity of the spin structure of a quadratic differentials inside Qg in terms of the singularities of the stratum. This contradicts a conjecture of Kontsevich-Zorich on the classification of the set the non-hyperelliptic components of Qg by this spin structure. Using this formula, we give an application in the context of rational billiard.Dans cette thèse, nous étudions la dynamique du flot géodésique de Teichmüller. L'origine de cet intérêt provient de l'étude d'une classe très importante de systèmes dynamiques : celle des échanges d'intervalles. Dans des travaux classiques, Masur et Veech montrent en 1982 que la dynamique de ces échanges d'intervalles est reliée avec la dynamique du flot géodésique de Teichmüller sur l'espace des modules des courbes complexes. L'espace des phases de ce flot peut être vu comme l'espace des modules des différentielles quadratiques sur une surface. Ces espaces sont naturellement stratifiés par le type des singularités des formes. De plus ces strates sont préservées par l'action de ce flot. Des résultats classiques affirment que ces strates sont des orbifolds complexes et sont non-vides et non-connexes en « général ». La motivation du travail expliqué dans cette thèse est donnée par le résultat fondamental, démontré indépendamment par Masur et par Veech (1982), qui affirme que le flot géodésique de Teichmüller agit de façon ergodique sur chaque composante connexe de chaque strate (normalisée), par rapport à une mesure invariante de masse finie. Kontsevich et Zorich ont classifié les composantes connexes des strates de l'espace des modules Hg des différentielles abéliennes. Dans cette thèse, nous donnons une description précise des composantes des strates dans le cas complémentaire de celui de Kontsevich- Zorich, c'est-à-dire de l'espace des modules Qg des différentielles quadratiques qui ne sont pas globalement le carré de différentielles abéliennes. Par ailleurs, nous donnons une formule explicite pour le calcul de la structure spin d'une différentielle quadratique de Qg en termes uniquement des singularités de la strate. Ceci contredit une conjecture de Kontsevich-Zorich sur la classification des composantes connexes non-hyperelliptiques de Qg par cette structure spin. En utilisant cette formule, nous donnons une application dans le contexte des billards dans un polygone rationnel