Méthodes de couplage pour des équations stochastiques de type Navier-Stokes et Schrödinger

In a first part, we are concerned with stochastic two-dimensional Navier-Stokes (NS), non-linear Schrödinger (NLS) and Complex Ginzburg-Landau(CGL) equations driven by a noise which is white in time and smooth in space. Using coupling arguments, we establish exponential (resp polynomial) mixing ofNS and CGL (resp NLS) provided the noise is non degenerate on the low modes. Although, this kind of method was originally developed for strongly dissipativeequations with additive noise, we are able to treat non dissipative equation (NLS) and general non additive noise.In a second part, we are concerned with stochastic three-dimensional Navier-Stokes equations (NS3D). We first investigate smoothness properties in space ofthe stationary solutions. Some informations on the Kolmogorov dissipation scale (K41) are deduced. Then we establish exponential mixing of the solutions of NS3Dprovided the noise is at the same time sufficiently smooth and non degenerate.Nous nous intéresserons d'abord aux équations stochastiques de Navier-Stokes bidimensionnelles (NS), de Ginzburg-Landau Complexes (CGL) et de Schrödinger non-linéaires (NLS) munies d'un bruit blanc en temps et régulier pour la variable spatiale. En nous appuyant sur des méthodes de couplages, nous établirons le caractère exponentiellement (resp polynomialement) mélangeant de NS et CGL (resp NLS) lorseque le bruit recouvre un nombre suffisant de bas modes. Deux des innovations majeures de ces résultats sont le fait que l'on s'autorise à traiter des équations non-dissipatives telles que NLS et que l'on considère des bruits non additifs.Dans un deuxième temps, nous considérerons les équations de Navier-Stokes stochastiques tridimensionnelles (NS3D). Nous établirons la régularité Hp et Gevrey des solutions stationnaires de NS3D et nous en déduirons des informations sur l'échelle de dissipation de Kolmogorov (K41). Puis, nous établirons le caractère exponentiellement mélangeant des solutions de NS3D lorsque le bruit est à la fois suffisament régulier et non-dégénéré