Modèles et algorithmes pour la modélisation parcimonieuse de signaux de grande dimension

This thesis provides fast algorithms for sparse representations. Sparse representations consist in modelling the signal as a linear combination of a few atoms chosen among a redundant (more atoms than the signal dimension) dictionary. How to decompose a given signal over a given dictionary? This problem is NP-Complete. Existing suboptimal algorithms are either to slow to be applied on large signals or compute coarse approximations. We propose a new algorithm, LocOMP, that is both scalable and achieves good approximation quality. LocOMP only works with local dictionaries: the support of an atom is much shorter than the signal length. How to learn a dictionary on which a given class of signals can be decomposed? This problem is even more difficult: its resolution usually involves several sparse decompositions. We propose to improve the Olshausen-Field algorithm. It optimizes the dictionary via fixed step gradient descent. We show how to compute the optimal step. This makes the algorithm converge faster towards a better dictionary. These algorithms were applied to the study of atrial fibrillation. Atrial fibrillation is a common heart arrhythmia: the atria start vibrating instead of beating. One would like to observe I in the patient's ECG but the ECG is a mixture of fibrillation and ventricular activity. Our separation method is based on the learning of one dictionary for the fibrillation and one for the ventricular activity, both of them learnt on the patient's ECG.Cette thèse propose des algorithmes rapides pour les représentations parcimonieuses. Les représentations parcimonieuses consistent à approcher le signal par une combinaison linéaire de peu d'atomes choisis dans un dictionnaire redondant (plus d'atomes que la dimension du signal). Comment décomposer un signal donné sur un dictionnaire donné ? C'est un problème NP-complet. Les algorithmes approchés existants sont trop coûteux pour être employés sur de grands signaux ou bien calculent une approximation grossière. Nous proposons un nouvel algorithme, LocOMP, qui passe à l'échelle sans sacrifier la qualité d'approximation. LocOMP nécessite des dictionnaires locaux : la longueur du support d'un atome est petite devant celle du signal. Comment apprendre un dictionnaire qui permet la représentation parcimonieuse d'une famille de signaux donnée ? C'est un problème encore plus complexe : on le résout habituellement en itérant plusieurs décompositions parcimonieuses. Nous proposons une amélioration de l'algorithme d'Olshausen-Field qui optimise le dictionnaire par descente de gradient à pas fixe. Nous exprimons le pas optimal la descente. L'algorithme converge ainsi plus vite vers un meilleur dictionnaire. Enfin, nous avons appliqué ces outils pour isoler les signaux de fibrillation atriale dans l'électrocardiogramme du patient. La fibrillation atriale est une arythmie cardiaque : les atria tremblent au lieu de battre. On souhaite observer la fibrillation dans l'ECG, mais elle est mélangée à l'activité ventriculaire. Notre méthode de séparation est basée sur l'apprentissage d'un dictionnaire pour la fibrillation et un pour l'activité ventriculaire, tous deux appris sur le même ECG