Solveurs rapides pour des discrétisations robustes en mécanique des fluides

On considère une équation aux dérivées partielles (EDP) elliptique du second ordre discrétisée par la méthode Hybrid High-Order (HHO). HHO est une méthode polyédrique qui supporte les ordres polynomiaux arbitraires, et pour laquelle les inconnues globalement couplées sont situées aux faces. Afin de résoudre efficacement le système linéaire obtenu après condensation statique, ce travail propose de nouvelles méthodes multigrilles basées sur le squelette du maillage. L'une est géométrique, l'autre algébrique. L'algorithme géométrique est un h-multigrille qui conserve le degré polynomial à tous les niveaux. Il gère les maillages polyédriques non structurés et non imbriqués. Les tests numériques sur des problèmes de diffusion homogènes et hétérogènes montrent une convergence rapide, un comportement asymptotique optimal par rapport à la taille du problème et les ordres polynomiaux, ainsi qu'une grande robustesse aux discontinuités du coefficient de diffusion. Le multigrille algébrique (AMG) s'applique aux méthodes hybrides d'ordre bas. Le graphe de connectivité entre éléments et faces est extrait de la matrice non condensée, ce qui permet l'implémentation du méthode de coarsening basée sur l'agrégation des éléments. Utilisé comme préconditionneur, cet AMG conserve les performance et scalabilité des AMG basés sur l'agrégation simple qui travaillent directement sur le système condensé, tout en affichant une amélioration notable sur les problèmes anisotropiques avec maillage cartésien.We consider a second-order, elliptic partial differential equation (PDE) discretized by the Hybrid High-Order (HHO) method. HHO is a polyhedral method that handles arbitrary polynomial orders, and for which globally coupled unknowns are located at faces. To efficiently solve the linear system arising after static condensation, this work proposes novel, skeleton-based multigrid methods. One is geometric, the other is algebraic. The geometric algorithm is an h-multigrid method that conserves the polynomial degree at every level. It handles non-nested, unstructured, polyhedral meshes. Numerical tests on homogeneous and heterogeneous diffusion problems show fast convergence, scalability in the mesh size and polynomial order, and robustness with respect to heterogeneity of the diffusion coefficient. The algebraic multigrid method (AMG) applies to the lowest order hybrid methods. It leverages the uncondensed matrix to extract the connectivity graph between element and faces, and subsequently implements an element-defined aggregation-based coarsening strategy. Used as a preconditioner, this AMG conserves the performance and scalability of standard plain aggregation AMGs that directly work on the condensed system, while exhibiting notable improvement on anisotropic problems with Cartesian meshes