Asymptotic analysis of some point processes

La méthode de Stein constitue une des principales techniques pour la résolution de certains problèmes d’approximation en théorie des probabilités. Dans ce manuscrit, nous l’appliquons au contexte des processus ponctuels. La première partie de ces investigations se concentre sur le processus ponctuel de Poisson. Sa propriété caractéristique d’indépendance fournit le moyen d’expliquer intuitivement pourquoi une suite de processus ponctuels de moins en moins répulsive peut converger vers un tel processus ponctuel. Ceci nous amène plus généralement à démontrer des résultats de convergence pour des suites de processus ponctuels construites à partir d’opérations telles que la superposition, l’amincissement ou l’homothétie. L’utilisation d’une distance sur les processus ponctuels, appelée distance de Kantorovich-Rubinstein, permet en outre l’obtention de taux de convergence. La seconde partie est centrée sur une classe de processus ponctuels avec beaucoup d’attractivité, appelés processus ponctuels α-stables. Leur structure basée sur un processus ponctuel de Poisson nous permet d’élargir à ces processus la méthode utilisée précédemment et de proposer de nouveaux résultats, via certaines propriétés que nous établissons sur ces processus ponctuels.Stein’s method constitutes one of the main techniques to solve some approximation problems in probability theory. In this manuscript, we apply it in the context of point processes. The first part of these investigations focuses on the Poisson point process. Its characteristic independence property provides a way to explain intuitively why a sequence of point processes becoming less and less repulsive can converge to such a point process. More generally, this leads to show some convergence results for some sequences of point processes built by several operations such as superposition, thinning and rescaling. The use of a distance on point processes, the so-called Kantorovich-Rubinstein distance, enables moreover the getting of some convergence rates. The second part is centered on a class of point processes with important attractiveness, called discrete α-stable point processes. Their structure based on a Poisson point process gives us a way to enlarge to these point processes the method used previously and to propose new results, via some properties that we state on these point processes