Coupled systems of PDEs, as port-Hamiltonian systems with dissipation : theoretical analysis and numerical simulation

Dans cette thèse, nous nous intéressons à la modélisation, la discrétisation, la simulation et l'analyse numérique de systèmes d'équations aux dérivées partielles dissipatives, contrôlées et observées à la frontière, via le formalisme des systèmes Hamiltoniens à ports d'interaction, ou port-Hamiltonian systems (pHs). L'objectif principal est de préserver le bilan de puissance des systèmes continus lors du passage au discret. Le problème des ondes et de la chaleur y sont largement étudiés.Dans la première partie de la thèse, nous avons étudié un modèle d'ondes hétérogènes anisotropes avec plusieurs types d'amortissement, interne et frontière. Non seulement nous avons rigoureusement éclairci le cadre fonctionnel du problème, mais nous avons mis en évidence son aspect géométrique, plus précisément, en mettant en lumière la structure de Stokes-Dirac sous-jacente au bilan de puissance. Pour discrétiser le problème des ondes amorties, la récenteméthode des éléments finis partitionnés, ou Partitioned Finite Element Method (PFEM), est adoptée pour sa construction systématique et sans traitement supplémentaire d'une structure de Dirac de dimension _nie, ce qui permet l'obtention naturelle d'une version discrète du bilan de puissance ; la simulation s'effectue par la résolution d'une équation différentielle ordinaire (ODE) linéaire. Cette discrétisation structurée est appliquée aux dissipations internes de type fluide et visco-élastique et aux dissipations frontières de type admittance et impédance.Dans la deuxième partie, nous nous sommes intéressés à un problème de diffusion. Le problème de la chaleur est modélisé, en formulation Hamiltonienne, par plusieurs choix de Hamiltoniens possibles, qui découlent soit de la littérature mathématique, soit de la littérature thermodynamique (énergie interne ou bien entropie). Puisque le problème des ondes et le problème de la chaleur partagent le même opérateur de structure, la discrétisation du problème de diffusion hérite d'un grand nombre de raisonnements faits dans la première partie. Néanmoins, le système discret obtenu est alors une équation différentielle algébrique (DAE), linéaire ou bien non-linéaire. La méthode PFEM retenue dans ce travail démontre son efficacité par sa capacité à mimer, au niveau discret, la diffusion bien connue de l'équation de la chaleur, mais également les premier et second principes de la thermodynamique (selon le Hamiltonien choisi lors de la modélisation).La troisième partie de la thèse, très originale, est consacrée à l'analyse numérique de la méthode de discrétisation proposée. La convergence du schéma numérique est démontrée pour des configurations multiples de familles d'éléments finis sur le modèle des ondes de la première partie, et les ordres obtenus sont vérifiés numériquement. En particulier, la configuration optimale des familles d'éléments finis, c'est-à-dire la minimisation du nombre de degrés de liberté pour un ordre de convergence donné, est obtenue en corollaire. La simulation numérique, n-dimensionnelle, des problèmes étudiés a donné lieu à des codes scientifiques développés en Python. Ces derniers sont adressés à destination, à la fois, des utilisateurs novices et des développeurs intéressés pour améliorer les codes ou pour les adapter à d'autres modèles.In this Ph.D. thesis, we are interested in the modeling, discretization, simulation and numerical analysis of boundary control systems with collocated observation, which are described by dissipativePartial Differential Equations (PDEs), using the port-Hamiltonian formalism (pHs).The main target of this work is to preserve the continuous power balance at the discrete level. The wave and heat problems are addressed thoroughly.In the first part, an anisotropic heterogeneous wave problem is being studied, accounting for several dissipation models : boundary and internal damping. Not only do we have rigorously clarified the functional framework, but also we have emphasized its geometric nature by highlighting the underlying Stokes-Dirac structure, from which the power balance follows. In order to discretizethe damped wave problem, we chose the recent Partitioned Finite Element Method(PFEM). Thanks to the property of systematic construction without additional post-processing, we obtain a straightforward discrete counterpart of the power balance. The simulation therein is performed through the resolution of a set of linear ordinary differential equations (ODEs). Theproposed structure-preserving method is then applied to both internal dissipations of fluid or visco-elastic type, and boundary damping, of impedance or admittance type.The second part of the thesis is dedicated to the study of a diffusion problem. We model the heat problem as a port-Hamiltonian system, making use either of a thermodynamically meaningful Hamiltonian candidate (entropy or internal energy), or a quadratic Hamiltonian usually used in the mathematical literature. Since the wave and the heat problems share the same structure operator, the discretization in the second part inherits many results already available in the first part. Nevertheless, the discrete system obtained is then a linear or non-linear differential algebraic equation (DAE). PFEM, as developed in this work, proves its ability to mimic, atthe discrete level, the well-known diffusion of the heat equation, but also the first or second principles of thermodynamics (depending on the chosen Hamiltonian).In the third part, which is very original, the numerical analysis of the discretization method is proposed. The convergence of the numerical scheme is rigorously proved for various configurations of finite element families on the wave model. Furthermore, the obtained orders of convergence have been numerically checked. In particular, we provide the optimal configuration of the finite element families, optimality meaning that for a given convergence rate, the minimal number of degrees of freedom is obtained. The N-dimensional numerical simulation of the problems under study has given rise to scientific codes developed in Python. These codes are intended to both novice users and developers, who are either interested in improving the codes or adapting them to other models