Contributions aux theories diagrammatiques non-biasees des fermions en interaction

Cette thèse contribue au développement d’approches diagrammatiques systématiques pour le problème quantique à N corps, qui consistent à calculer une expansion en diagrammes de Feynman à un ordre arbitraire sans contrainte de paramètre petit. La forme standard du problème de signe fermionique - augmentation exponentielle de l’erreur statistique avec le volume - n’affecte pas ces méthodes car elles fonctionnent directement dans la limite thermodynamique. Par conséquent, elles sont un outil puissant pour la simulation de la matière quantique. La partie I de la thèse est consacrée au gaz de Fermi unitaire, un modèle de fermions fortement corrélés réalisé avec précision dans des expériences d’atomes froids. Nous montrons que les quantités physiques peuvent être extraites de la série diagrammatique divergente par une transformation de Borel conforme spécifiquement conçue. Nos résultats, qui sont en accord avec les expériences, démontrent qu’une série diagrammatique peut être resommée de manière fiable pour une théorie fermionique sans contrainte de paramètre petit. Dans la partie II, nous présentons un nouvel algorithme pour calculer les expansions diagrammatiques à ordre élevé. Tous les diagrammes Feynman connectés sont sommés à un ordre donné avec un temps de calcul beaucoup plus petit que le nombre de diagrammes. En utilisant cette technique, on peut simuler des fermions sur un réseau infini en temps polynomial. Pour preuve, nous l’appliquons au modèle d’Hubbard à couplage faible, en obtenant des résultats avec une précision record. Enfin, dans la partie III, nous abordons le problème de la convergence erronée des schémas diagrammatiques habillés, qui est lié à une ramification de la fonctionnelle de Luttinger-Ward. Après avoir étudié un modèle-jouet, nous montrons que le caractère erroné de la convergence peut être exclu pour une grande classe de schémas diagrammatiques, et aussi pour le schéma complètement habillé, sous certaines conditions.This thesis contributes to the development of unbiased diagrammatic approaches to the quantum many-body problem, which consist in computing expansions in Feynman diagrams to arbitrary order with no small parameter. The standard form of fermionic sign problem - exponential increase of statistical error with volume - does not affect these methods as they work directly in the thermodynamic limit. Therefore they are a powerful tool for the simulation of quantum matter. Part I of the thesis is devoted to the unitary Fermi gas, a model of strongly-correlated fermions accurately realized in cold-atom experiments. We show that physical quantities can be retrieved from the divergent diagrammatic series by a specifically-designed conformal-Borel transformation. Our results, which are in good agreement with experiments, demonstrate that a diagrammatic series can be summed reliably for a fermionic theory with no small parameter. In Part II we present a new efficient algorithm to compute diagrammatic expansions to high order. All connected Feynman diagrams are summed at given order in a computational time much smaller than the number of diagrams. Using this technique one can simulate fermions on an infinite lattice in polynomial time. As a proof-of-concept, we apply it to the weak-coupling Hubbard model, obtaining results with record accuracy. Finally, in Part III we address the problem of the misleading convergence of dressed diagrammatic schemes, which is related to a branching of the Luttinger-Ward functional. After studying a toy model, we show that misleading convergence can be ruled out for a large class of diagrammatic schemes, and even for the fully-dressed scheme under certain conditions