A posteriori error estimates for the Large Eddy Simulation applied to incompressible fluids

La simulation numérique directe (DNS) à nombre de Reynolds élevé du comportement d’un fluide décrit par les équations de Navier-Stokes est particulièrement coûteuse, voire impossible, puisque les tailles de maille et de pas de temps doivent être adaptées aux plus petites échelles des fluctuations des champs de vitesse et de pression ayant un impact sur la solution. Pour cette raison, on utilise des techniques comme la méthode de simulation des grandes échelles (LES) où l’on n’a pas besoin de résoudre l’intégralité de toutes les échelles, mais où l’effet des plus petites échelles sur les échelles résolues sera modélisé. Dans cette thèse, on s’intéresse au modèle de Smagorinksy, un des modèles les plus simples de LES et parmi les plus utilisés dans les codes de calcul. Il exprime l’effet des petites échelles par un terme de diffusion supplémentaire dont le coefficient de viscosité turbulente est une fonction des échelles résolues. Nous considérons ce modèle pour les équations instationnaires en dimension deux et stationnaires en dimensions deux et trois. On analyse ces problèmes en introduisant les formulations variationnelles équivalentes. Ensuite on introduit les problèmes discrets correspondants en se basant sur la méthode des éléments finis pour la discrétisation en espace et sur le schéma d’Euler pour la discrétisation en temps. On établit une estimation d’erreur a posteriori entre la solution des équations de Navier-Stokes originelles et la solution discrète calculée. Cette estimation ne dépend que de la solution discrète calculée, de la géométrie du maillage et des données du problème ; elle fait apparaître trois types d’indicateurs d’erreur : de discrétisation en espace, de filtrage dû à la méthode LES et de discrétisation en temps dans la cas instationnaire ou de linéarisation dans le cas stationnaire. Enfin, on montre des résultats numériques de validation où l’ensemble est implémenté à l’aide du logiciel FreeFem++The direct numerical simulation (DNS) at high Reynolds number of fluid behavior described by theNavier-Stokes equations is particularly costly, if not impossible, since the mesh cells and time step sizesmust be adapted to the smallest scales of fluctuations in the velocity and pressure fields that have animpact on the solution. For this reason, techniques such as the large eddy simulation method (LES)are used where the entire scale range is not solved, but the effect of the smallest scales on the resolvedscales are modelled. In this thesis, we are interested in the Smagorinksy model, one of the simplest andmost widely used among the LES models. This model expresses the effect of the small scales throughan additional diffusion term, whose turbulent viscosity coefficient is a function of the resolved scales. Weconsider this model for the time dependent Navier-Stokes problem in dimension two and for the stationaryNavier-Stokes problem in dimensions two and three.These problems are analyzed by introducing the equivalent variational formulations. Then, the correspondingdiscrete problems based on the finite element method for space discretization and on Euler’sscheme for time discretization are introduced. An a posteriori estimate that measures the error betweenthe solution of the original Navier-Stokes system and the discrete computed solution is established. Thisestimate only depends on the calculated solution, the geometry of the mesh and the data of the problem ;three types of error indicators are involved : the first is related to the space discretization, the second tothe filtering of the LES method and the third to time discretization in the time dependent case and tolinearization in the stationary case. Finally, numerical investigations are shown where the whole processis implemented with the FreeFem++ softwar