Continuous models for multi-phase architectured/meta materials : homogenization for effective properties and damage evolution in three-dimensional lattices embedded in a softer matrix

Dans cette thèse, nous présentons le résultat du rencontre de deux domaines d'origine très éloignés : la synthèse de nouveaux matériaux de conception théorique, appelés métamatériaux, et un cadre d'homogénéisation basé sur des objets mathématiques particuliers appelés opérateurs de Green, utilisés pour décrire utilement les propriétés effectives des matériaux composites. L'idée principale de cette thèse est donc de concevoir et d'étudier (et, éventuellement, de produire et de mesurer) un système mécanique que l'on pourrait appeler métamatériau composite. Il doit posséder à la fois les propriétés renforcées des matériaux composites et les architectures sophistiquées caractéristiques des métamatériaux. L'idée décrite ci-dessus n'est évidemment pas de simple actuation et elle oblige à se confronter avec des problèmes mathématiques et techniques très durs. Dans ce travail de thèse, nous essayons d'expliquer la première tentative pour atteindre ce projet très ambitieux. Le premier chapitre de cette thèse est consacré à la description d'un métamatériau particulier que nous avons choisi comme référence pour développer le composite. C'est ce qu'on appelle le métamatériau pantographique et nous nous intéressons à ses propriétés de déformation renforcées, comme, par exemple, les grandes déformations et les endommagements différés. Nous voulons souligner ici que, d'un point de vue mathématique, le métamatériau pantographique est décrit par une théorie généralisée. Concrètement, la présence de la microstructure rend nécessaire l'adoption d'un modèle de second gradient pour prendre en compte tous ses effets exotiques. Des essais expérimentaux pour les structures pantographiques 3D sont présentés dans le deuxième chapitre. Une comparaison avec les évaluations obtenues par le modèle développé dans le chapitre précédent est effectuée et les limites de ce modèle sont évaluées expérimentalement. Les tests mentionnés ci-dessus sont finalement analysés en utilisant les techniques de corrélation d'images digitales, qui permettent de mesurer de manière très précise le déplacement et les champs de déformation. Dans les troisième et quatrième chapitres, le cadre d'homogénéisation des tenseurs de Green est présenté et utilisé pour modéliser le matériau d'inspiration pantographique. Ce cadre d'homogénéisation présente certains avantages : (ii) le résultat de cette procédure d'homogénéisation consiste en l'accès direct aux propriétés effectives du matériau ; (iii) il est linéaire et, pour cette raison, le code algorithmique écrit pour obtenir les propriétés effectives est très rapide comparé aux codes basés sur FEM pour la simulation numérique du métamatériau pantographique. Dans le dernier chapitre, la modélisation des endommagements dans les structures pantographiques est approchée. La discussion sur les endommagements présentée dans cette thèse est liée aux caractéristiques de déformation des pivots d'interconnexion : ceci nous permet d'effectuer certaines comparaisons avec le matériau d'inspiration pantographique, où, comme il est montré au chapitre 4, le rôle des pivots est joué par la phase dela matrice. Sur la base de critères simples, la prévision des endommagements est rendue possible si les pivot sont des caractéristiques géométriques spécifiques.In this thesis, we present the result of the contact between two domains which in origin are very distant: the synthesis of new theory-driven conceived materials, the so-called metamaterials, and an homogenization framework based on some particular mathematical objects called Green operators, fruitfully used for describing the effective properties of composite materials. So, the main idea driving this thesis work is todesign and study (and, possibly, to produce and measure) a mechanical system which we could call composite metamaterial. It should have both the enhanced properties of composite materials and of the smart architectures characteristic of metamaterials.The idea above described is obviously of not simple actuation and it obliges to face with very hard mathematical and technical problems. In this thesis work, we try to explain the first tentative to reach this very ambitious project. The first chapter of this thesis is devoted to the description of a particular metamaterial we have chosen as a reference for developing the composite. It is called the pantographic metamaterial and we are interested in its deformation enhanced properties, as, for example, large deformation ranges and late damage onset. We want to underline here that, from a mathematical point of view, the pantographic metamaterial is described by means of a generalized theory. Specifically, the presence of the microstructure makes it necessary to adopt a second gradient model for taking into account all its exotic effects. Experimental tests for 3D pantographic structures are presented in the second Chapter. A comparison with thee valuations obtained by means of the model developed in the previous chapter is performed and the limits of this model are experimentally evaluated. The above mentioned tests are finally analysed by using the Digital Image Correlation techniques, which allow to measure in a very precise way the displacement and the deformation fields.In the third and fourth chapters, the Green tensors homogenization framework is presented and used for modelling the pantographic-inspired material. This homogenization framework has some advantages: (i) it is very simple to be applied (in contrast with the Gamma convergence techniques needed to formally derived the homogenized description of the pantographic metamaterial); (ii) the result of this homogenization procedure consists in the direct access to the effective properties of the material; (iii) it is linear and, for this reason, the algorithmic code written to obtain the effective properties is very fast compared to the FEM based codes for numerically simulating the pantographic metamaterial.In the last Chapter, the damage modelling in pantographic structures is approached. The discussion about damage presented in this thesis is related to the deformation features of the interconnecting pivots: this allows us to carry on some comparisons with the pantographic-inspired material, where, as it is shown in Chapter 4,the role of the pivots is played by the matrix phase. On the basis of simple criteria, the damage forecasting ismade possible if the pivots have specific geometrical features