Une formulation port-Hamiltonienne des structures flexibles. Modélisation et discrétisation symplectique par éléments finis

Cette thèse vise à étendre l’approche port-Hamiltonienne (pH) à la mécanique des milieuxcontinus dans des dimensions géométriques plus élevées (en particulier on se focalise sur ladimension 2). Le formalisme pH, avec son fort caractère multi-physique, représente un cadreunifié pour modéliser, analyser et contrôler les systèmes de dimension finie et infinie. Malgrél’abondante littérature sur ce sujet, les problèmes d’élasticité en deux ou trois dimensionsgéométriques n’ont presque jamais été considérés. Dans ce travail de thèse la connexion entreproblèmes d’élasticité et systèmes distribués port-Hamiltoniens est établie. L’originalitéapportée réside dans trois contributions majeures. Tout d’abord, une nouvelle formulationpH des modèles de plaques et des phénomènes thermoélastiques couplés est présentée.L’utilisation du calcul tensoriel est obligatoire pour modéliser les milieux continus etl’introduction de variables tensorielles est nécessaire pour obtenir une description pH équivalentequi soit intrinsèque, c’est-à-dire indépendante des coordonnées choisies. Deuxièmement,une technique de discrétisation basée sur les éléments finis et capable de préserver la structuredu problème de la dimension infinie au niveau discret est développée et validée. Cetteméthodologie repose sur une formule d’intégration par parties abstraite et peut être appliquéeaux systèmes hyperboliques et paraboliques linéaires et non linéaires. Plusieurs éléments finispour les structures minces (poutres et plaques) sont proposés et testés. La discrétisation desproblèmes d’élasticité écrits en forme port-Hamiltonienne nécessite l’utilisation d’élémentsfinis non standards. Néanmoins, l’implémentation numérique est réalisée grâce à des bibliothèquesopen source bien établies, fournissant aux utilisateurs externes un outil facile àutiliser pour simuler des systèmes flexibles sous forme pH. Troisièmement, une nouvelle formulationpH de la dynamique multicorps flexible est dérivée. Cette reformulation, valablesous de petites hypothèses de déformations, inclut toutes sortes de modèles élastiques linéaireset exploite la modularité intrinsèque des systèmes pH.This thesis aims at extending the port-Hamiltonian (pH) approach to continuum mechanicsin higher geometrical dimensions (particularly in 2D). The pH formalism has a strong multiphysicscharacter and represents a unified framework to model, analyze and control bothfinite- and infinite-dimensional systems. Despite the large literature on this topic, elasticityproblems in higher geometrical dimensions have almost never been considered. This workestablishes the connection between port-Hamiltonian distributed systems and elasticity problems.The originality resides in three major contributions. First, the novel pH formulationof plate models and coupled thermoelastic phenomena is presented. The use of tensor calculusis mandatory for continuum mechanical models and the inclusion of tensor variablesis necessary to obtain an intrinsic, i.e. coordinate free, and equivalent pH description. Second,a finite element based discretization technique, capable of preserving the structure of theinfinite-dimensional problem at a discrete level, is developed and validated. This methodologyrelies on an abstract integration by parts formula and can be applied to linear and non-linearhyperbolic and parabolic systems. Several finite elements for beams and plates structuresare proposed and tested. The discretization of elasticity problems in port-Hamiltonian formrequires the use of non-standard finite elements. Nevertheless, the numerical implementationis performed thanks to well-established open-source libraries, providing external users withan easy to use tool for simulating flexible systems in port-Hamiltonian form. Third, flexiblemultibody systems are recast in pH form by making use of a floating frame description validunder small deformations assumptions. This reformulation include all kinds of linear elasticmodels and exploits the intrinsic modularity of pH systems