Graphes et marches aléatoires

The study of random walks demonstrates connections between their algebraic, combinatorial, geometric and stochastic properties. The first example of such a connection was given in a theorem of Pólya dealing with nearest neighbourhood random walks on the space of N-dimensional integers. Random walks on groups provide with many examples, however it should be interesting to have such rigid results in the case of weaker algebraic structures such that semigroupoids and groupoids. In this thesis, one example of semigroupoid and one example of groupoid are considered; they are both defined as constrained subgraphs of the Cayley graph of a group, the first one is genuinely directed contrary to the second one which is undirected. For this first example, it has been shown by Campanino and Petritis that the simple random walk is transient. Here, we refine this statement by determining the Martin boundary of this process and show its triviality. In the second example, we consider quasi-periodic tilings of the Euclidean spaces obtained with the help of the cut-and-project scheme. We have considered the simple random walk along the sides of the polytopes constituting the tiling and answered the question of its type, i.e. we determined whether the random walk is recurrent or transient. This result is a consequence of isoperimetric inequalities. This strategy allow us to obtain estimates of the rate of convergence of the heat kernel which could not have been done with the help of the Nash-Williams criterion.L'étude des marches aléatoires fait apparaître des connexions entre leurs propriétés algébriques, géométriques ou encore combinatoires et leurs propriétés stochastiques. Si les marches aléatoires sur les groupes - ou sur des espaces homogènes - fournissent beaucoup d'exemples, il serait appréciable d'obtenir de tels résultats de rigidité sur des structures algébriques plus faibles telles celles de semi-groupoide ou de groupoide. Dans cette thèse il est considéré un exemple de semi-groupoide et un exemple de groupoide, tous les deux sont définis a partir de sous-graphes contraints du graphe de Cayley d'un groupe - le premier graphe est dirige alors que le second ne l'est pas. Pour ce premier exemple, on précise un résultat de Campanino et Petritis (ils ont montre que la marche aléatoire simple était transiente pour cet exemple de graphe dirigé) en déterminant la frontière de Martin associée à cette marche et établissant sa trivialité Dans le second exemple apparaissant dans ce manuscrit, on considère des pavages quasi-périodiques de l'espace euclidien obtenus à l'aide de la méthode de coupe et projection. Nous considérons la marche aléatoire simple le long des arêtes des polytopes constituant le pavage, et nous répondons a la question du type de celle-ci, c'est-à-dire nous déterminons si elle est récurrente ou transiente. Nous montrons ce résultat en établissant des inégalités isopérimétriques Cette stratégie permet d'obtenir des estimées de la vitesse de décroissance du noyau de la chaleur, ce que n'aurait pas permis l'utilisation d'un critère de type Nash-Williams