Contributions à la théorie des associateurs KZB

In this thesis, following the work initiated by V. Drinfeld and pursued by B. Enriquez, then by the latter together with D. Calaque and P. Etingof, we study the universal twisted elliptic (ellipsitomic in short) KZB connection, associated to the moduli space of elliptic curves with n marked points and a (M,N)-level structure. The flatness of this connection allows us to study monodromy relations satisfied by this connection, opening the way to a general theory of ellipsitomic associators and Grothendieck-Teichmüller groups corresponding to them, which is released via the use of the formalism of operads (and some of their variants) basing ourselves on the work of B. Fresse. On the one hand, this formalism allows us to study the structure of associators in higher genus. On the other hand, the ellipsitomic KZB associator allows us to derive a theory of elliptic multiple zeta values at torsion points, from which some of their first associator-like properties are distinguished. We will begin by setting up the operadic machinery necessary to define the ellipsitomic associators starting successively with the genus 0 situation, which is well-known, then the genus 1 situation and their cyclotomic variants. Then, in light of this formalism, we will release a definition of genus gassociators. Next, we will go into the details of the construction of the universal ellipsitomic KZB connection, first over the (M,N)-twisted configuration space of an elliptic curve and then over the moduli space of elliptic curves with a level structure. We will associate this connection to its realized version by means of the use of double affine Hecke algebras and of classical dynamical r-matrices. Finally we will present the applications of this construction, namely : the formality of certain subgroups of the braid group on the torus, the ellipsitomic KZB associator, elliptic multiple zeta values at points of torsion as well as an application in representations of cyclotomic Cherednik algebras.Dans cette thèse, en suivant les travaux initiés par V. Drinfeld, poursuivis par B. Enriquez, puis par ce dernier, D. Calaque et P. Etingof, nous étudions la connexion KZB elliptique cyclotomique (ellipsitomique en plus court) universelle, associée à l’espace de modules des courbes elliptiques avec n points marqués et une structure de (M,N)-niveau. La platitude de cette connexion nous permet d’étudier des relations de monodromie, ouvrant la voie à une théorie générale des associateurs ellipsitomiques et des groupes de Grothendieck-Teichmüller qui lui correspondent, que l’on dégage via l’utilisation du formalisme des opérades (et certaines de leurs variantes) en nous basant sur les travaux de B. Fresse à ce sujet. D’une part, ce formalisme nous permet par ailleurs d’étudier la structure des associateurs en genre supérieur. D’autre part, l’associateur KZB ellipsitomique nous permet de dégager une théorie des valeurs multizêta elliptiques en des points de torsion, dont on démarque quelques unes de leurs premières propriétés du type associateurs. On commencera par mettre en place la machinerie opéradique nécessaire pour définir les associateurs ellipsitomiques en partant tour à tour de la situation déjà connue en genre 0, puis de celle en genre 1 et ensuite de leurs variantes cyclotomiques. Enfin, grâce à ce formalisme, nous dégagerons une définition des associateurs en tout genre. Ensuite, nous entrerons dans le détail de la construction de la connexion KZB ellipsitomique universelle, en premier temps sur l’espace de configurations (M,N)-décorées d’une courbe elliptique puis sur les espaces de modules des courbes à niveau, nous la lieront à sa version réalisée via l’utilisation des algèbres de Hecke doublement affines et des r-matrices classiques dynamiques. Pour finir nous présenterons les applications de cette construction, à savoir : formalité de certains sous-groupes de tresses sur le tore, l’associateur KZB ellipsitomique, valeurs multizêta elliptiques en des points de torsion ainsi qu’une application en représentations d’algèbres de Cherednik cyclotomiques