Théorie des modèles métriques, groupes polonais et diversités

We study metric model theory and Polish groups as automorphism groups of separable metric structures. We expand upon the infinitary continuous logic treated in [12, 11, 23, 27] and give a new proof of the Omitting Types Theorem of infinitary continuous logic. We also find a new way of calculating the type distance of infinitary continuous logic. Furthermore, we show an infinitary version of the Ryll-Nardzewski Theorem. We also study the Roelcke completion of a Polish group and give amodel theoretical characterisation of locally Roelcke precompact Polish groups. We do this by showing that the Roelcke completion of a Polish group can be considered as a certain set of types in metric model theory. Furthermore, we develop the model theory of the Urysohn metric space U. We show that its theory TU eliminates quantifiers, that U is a prime model and that any separable model of TU is a disjoint union of isomorphic copies of U. Moreover, we show that the isometry group of U is locally Roelcke precompact by applying our result above. This was already known, but our proof is new. Finally, we study the Urysohn diversity U. Diversities are a natural generalisation of metric spaces, where positive values are assigned not just to pairs, but to all finite subsets. We develop the model theory ofU and show, among other things, that its automorphism group Aut(U) is locally Roelcke precompact, again by applying our result above. We also show that Aut(U) is a universal Polish group and that it has a dense conjugacy class. Lastly, we study the automorphism group of the rational Urysohn diversity UQ and show that Aut(UQ) has ample generics - a property with many strong implications.Nous étudions la théorie des modèles métriques et les groupes polonais comme groupes d’automorphismes de structures métriques séparables. Nous développons la logique continue infinitaire traitée dans [12, 11, 23, 27] et donnons une nouvelle preuve du théorème d’omission des types pour la logique continue infinitaire. Nous trouvons également une nouvelle facon de calculer la distance de type de la logique continue infinitaire. De plus, nous montrons une version infinitaire du théorème de Ryll-Nardzewski. Nous étudions également le complété de Roelcke d’un groupe polonais et donnons une caractérisation des groupes polonais localement Roelcke précompacts en utilisant la logique continue. Nous le faisons en montrant que le complété de Roelcke d’un groupe polonais peut être considéré comme un certain ensemble de types dans la théorie des modèles métriques. De plus, nous développons la théorie des modèles de l’espace métrique d’Urysohn U. Nous montrons que sa théorie TU élimine les quantificateurs, que U est un modèle premier et que tout modèle séparable de TU est une union disjointe de copies isomorphes à U. De plus, nous montrons que le groupe d’isométries de U est localement Roelcke précompact en appliquant notre résultat obtenu précédemment. Bien que le résultat soit déjà connu, nous en apportons une preuve nouvelle. Enfin, nous étudions la diversité d’Urysohn U. Les diversités sont une généralisation naturelle des espaces métriques, les valeurs positives sont attribuées non seulement aux paires, mais à tous les sous-ensembles finis. Nous développons la théorie du modèle de U et montrons, entre autres, que son groupe d’automorphismes Aut(U) est localement Roelcke précompact, encore une fois en appliquant notre résultat ci-dessus. Nous montrons également que Aut(U) est un groupe polonais universel et qu’il a une classe de conjugaison dense. Enfin, nous étudions le groupe d’automorphisme de la diversité rationnelle d’Urysohn UQ et montrons que Aut(UQ) a des génériques amples - une propriété riche de conséquences, certaines étant très importantes