Approximation par éléments finis C1 des modèles magnétohydrodynamiques pour les plasmas de fusion

This thesis participates in the development of advanced numerical methods to simulate plasma instabilities for fusion by magnetic confinement in tokamaks. These flows are described in a general framework by magnetohydrodynamic(MHD) fluid models and can be considered incompressible in some approximations known as reduced MHD models. In this work, the incompressibility constraint is dealt with by the introduction of stream functions. A consequence of this formulation is the appearence of differential terms of order 4 in the equations. The use of C 1 functions is then required to apply the conforming Galerkin finite element method. We have used the the so-called reduced Clough-Tocher(CT) finite element method on general triangulations. The method has been validated on simple problems and then extented to problems relevant for the study of fusion plasmas. First, plasma equilibrium described by the Grad-Shafranov equation, has been investigated. Then we have studied incompressible models in a pure streamfunction formulation. First, we introduced a discretization of the incompressible Navier-Stokes equations which constitute a sub-model of the incompressible MHD equations. We have shown the stability in energy of the method and demontrated its performance on some standard test cases. We have then extended this numerical scheme to the incompressible MHD equations. We have also proved the stability in energy of the numerical approach and applied the numerical scheme to the simulation of the well known "tilt instability". In view of the results obtained, the CT method appears to be suitable for the simulation of plasma instabilities described by MHD models. Due to its capability to represent complex geometry, it compares favorably to other numerical methods in term of accuracy, CPU time, memory cost and versatility. jfavorably to other numerical methods in term of accuracy, CPU time, memory cost and versatility.Cette thèse participe au développement de méthodes numériques avancées pour simuler les instabilités du plasma pour la fusion par confinement magnétique dans les tokamaks. Ces écoulements sont décrits dans un cadre général par des modèles fluides de type magnetohydrodynamique(MHD) et peuvent être considérés comme incompressibles dans certaines approximations connues sous le nom de modèles MHD réduits. Dans ce travail, la contrainte d’incompressibilité est traitée par l’introduction de fonctions de courant. Une conséquence de cette formulation est l’apparition de termes différentiels d’ordre 4 dans les équations. L’utilisation de fonctions C 1 est alors nécessaire pour appliquer la méthode des éléments finis de Galerkin conforme. Nous avons utilisé la méthode des éléments finis dite de Clough Tocher(CT) réduite sur des triangulations générales. La méthode a été validée sur des problèmes simples, puis étendue à des problèmes pertinents pour l’étude des plasmas de fusion. Tout d’abord, l’équilibre des plasmas décrit par l’équation de Grad-Shafranov a été abordé. Ensuite, nous avons étudié des modèles incompressibles dans une formulation fonction de courant pure. Premièrement, nous avons introduit une discrétisation des équations incompressibles de Navier-Stokes qui constituent un sous-modèle des équations de la MHD incompressible. Nous avons montré la stabilité en énergie de la méthode et démontré ses performances sur certains cas tests standards. Nous avons ensuite étendu ce schéma numérique aux équations de la MHD incompressible. Nous avons également démontré la stabilité en énergie de l’approche numérique et appliqué le schéma numérique à la simulation d’un problème d’instabilité du plasma connu sous le nom de "instabilité du tilt".Au vu des résultats obtenus, la méthode CT s’est révélée adaptée à la simulation des instabilités du plasma décrites par les modèles MHD. En raison de sa capacité à représenter des géométries complexes, elle se compare favorablement aux autres méthodes numériques en termes de précision, de temps CPU, de coût mémoire et de la flexibilité