Dynamique de systèmes à grand nombre de particules et systèmes dynamiques

In this thesis, we study the behavior of solutions of partial differential equations that arise from the modeling of systems with a large number of particles. The dynamic of all these systems is driven by interaction between the particles and external and internal forces. However, we will consider different scales and travel from the quantum level of atoms to the macroscopic level of stars. We will see that differences emerge from the associated dynamics even though the main properties are conserved. In this journey, we will cross the path of various applications of these equations such as astrophysics, plasma, semi-conductors, biology, economy. This work is divided in three parts.In the first one, we study the semi classical behavior of the quantum Hartree equation and its limit to the kinetic Vlasov equation. Properties such as the propagation of moments and weighted Lebesgue norms and dispersive estimates are quantified uniformly in the Planck constant and used to establish stability estimates in a semiclassical analogue of the Wasserstein distance between the solutions of these two equations.In the second part, we investigate the long time behavior of macroscopic and kinetic models where the collision operatoris linear and has a heavy-tailed local equilibrium, such as the Fokker-Planck operator, the fractional Laplacian with a driftor a Linear Boltzmann operator. This let appear two main techniques, the entropy method and the positivity method.In the third part, we are interested in macroscopic models inspired from the Keller-Segel equation, and we study therange of parameters under which the system collapses, disperses or stabilizes. The first effect is studied using appropriate weights, the second using Wasserstein distances and the third using Lebesgue norms.On étudie dans cette thèse le comportement en temps long de solutions d’équations aux dérivées partielles. Celles-ci modélisent des systèmes à grand nombre de particules dont la dynamique est due à des forces externes, internes et à l’interaction entre ces particules. Cependant, on considère différentes échelles. On voyage ainsi du niveau quantique des atomes au niveau macroscopique des étoiles, et l’on voit que des différences apparaissent bien que certaines propriétés soient conservées. Dans ce voyage, on croise le chemin de diverses applications telles que l’astrophysique, les plasmas,les semi-conducteurs, la biologie et l’économie. Ce travail est divisé en trois parties.Dans la première, on étudie le comportement semi-classique de l’équation de Hartree en mécanique quantique et sa limite vers l’équation de Vlasov. On quantifie uniformément en la constante de Planck des propriétés telles que la propagation des moments et de normes de Lebesgue à poids et la dispersion. On les utilise ensuite pour établir des estimées de stabilité entre les deux équations au moyen d’un analogue semi-classique des distances de Wasserstein. Dans la deuxième partie, on regarde le comportement en temps long d’équations cinétiques dont l’opérateur de collision est linéaire et a un équilibre local avec peu de moments, tel que l’opérateur de Fokker-Planck, sa version fractionnaire et un opérateur de Boltzmann linéaire. Deux principales techniques sont utilisées, l’une consistant à construire des entropies et la seconde à utiliser la positivité.Enfin, la dernière partie s’intéresse à des modèles macroscopiques inspirés de l’équation de Keller-Segel et l’on regarde les paramètres sous lesquels ce type de système s’effondre sur lui-même, se disperse ou se stabilise. Le premier effet se voit en introduisant des poids appropriés, le deuxième avec des distances de Wasserstein et le troisième au moyen des normes de Lebesgue