Modélisation multi-échelles de matériaux à gradients de mésostructure

Understanding mechanisms at small scales in composite structures is crucial for the design of many applications in engineering, including structures for aircraft engines which allow a reduction of CO2 emissions. The objective of this thesis work is to develop numerical approaches based on the finite element method to describe accurately the thermo-mechanical fields in these complex structures at different scales, at reasonable computations costs.One difficulty in such problems is the lack of scale separation, corresponding to a weak difference between the characteristic dimensions of the heterogeneities and the fluctuation length of the applied loads. Therefore, the classical homogenization methods are poorly accurate near stress concentrations or when global gradient deformation modes such as bending occur.In a first part, we investigate the use of a previously developed method, the filter-based computational homogenization method, and apply it to woven composite structures. The accuracy of the method is tested and a comparison with classical first-order homogenization methods, including with enhanced re-localization process, is conducted.In a second part, an original method is developed in this thesis. The method uses both advantages of computational homogenization and of domain decomposition techniques. The approach, called CMCM (Coarse Mesh Condensation Multiscale) method, is based on several ingredients. The structure is first meshed with a fine mesh, at the scale of heterogeneities. The obtained mesh can be extremely large and lead to intractable computational costs on classical Finite Element solvers. The structure is then decomposed in several subdomains. On each subdomain, preliminary calculations allow constructing a basis of local solutions, which are then condensed on unknown degrees of freedom of a coarse mesh covering the whole structure. The full resolution in the fine mesh is then substituted by solving a problem on the coarse mesh only, allowing computational times saving of several orders of magnitude. The technique is first applied on a linear elastic structure. An error analysis is conducted, and several applications are proposed, including an industrial case comprising a structure with a mesh comprising more than a billion finite elements, or a calculation on a microstructure whose description is provided by micro tomography. CMCM is extended to unstructured and non conforming meshes. The technique is finally extended to other problems, such as thermo-elasticity and nonlinear problems. It is shown that the method allows obtaining a satisfying approximation of the local solution on the fine mesh for large computational costs reduction.La compréhension des mécanismes liés aux petites échelles dans les structures composites est un enjeu crucial pour développer de nombreuses applications en ingénierie, notamment les structures pour l'aéronautique entrant dans la composition des moteurs d'avion permettant une réduction des émissions de CO2. L'objectif de cette thèse est de développer des méthodes numériques basés sur la méthode des éléments finis pour permettant de décrire finement les champs thermomécaniques dans ces structures complexes à différentes échelles, à des coûts de calculs raisonnables.L'une des difficultés est la non séparation des échelles, correspondant à une faible différence entre longueur caractéristique des hétérogénéités et longueurs de fluctuations des champs appliqués, rendant les méthodes d'homogénéisation classiques peut précises près des concentrations de contraintes ou en présence de gradients de déformations macroscopiques comme de la flexion.Dans une première partie, nous évaluons les performances d'une méthode développée précédemment, la méthode d'homogénéisation numérique par filtres, pour des structures modèles en composites tissés. Une quantification des erreurs obtenues par la méthode et une comparaison avec des techniques d'homogénéisation du premier ordre avec relocalisation améliorée sont menées.Dans une deuxième partie, une méthode originale est développée, tirant parti à la fois des techniques d'homogénéisation numériques et des méthodes de décomposition de domaine. La technique, nommée méthode CMCM (Coarse Mesh Condensation Multiscale), se base sur plusieurs étapes. La structure est tout d'abord complètement maillée à l'échelle des hétérogénéités. Les maillages obtenus peuvent alors être extrêmement larges et impraticables pour des solveurs éléments finis classiques. La structure est ensuite décomposée en sous-domaines. Sur chaque sous-domaine, des calculs préliminaires permettent de construire une base de solution locale. Les solutions locales sont ensuite condensées sur les inconnues nodales d'un maillage grossier. La résolution de la structure complètement maillée est alors substituée par une résolution sur le maillage grossier, permettant des gains de temps de calculs de plusieurs ordres de grandeurs.La technique est d'abord testée dans un cas élastique linéaire. Une analyse quantitative des erreurs est menée, et des applications sont proposées, comme un cas industriels d'une structure composite tissée maillée avec plus d'un milliard d'élément ou un calcul sur une image de micro structure obtenue par micro tomographie. La méthode CMCM est étendue à des maillages grossiers réguliers ou non, et pouvant être non conformes avec le maillage micro sous-jacent. La méthode est ensuite étendue et appliquée pour des problèmes de structures thermoélastiques et des comportements locaux non linéaires. Il est montré que la méthode permet d'obtenir des qualités de solution satisfaisantes pour des cas de non séparation d'échelle, pour des réductions de coûts de calcul importantes