SUR L'INSTANT DE PREMIER PASSAGE DANS LES RISQUES DYNAMIQUES ACTUARIELS

In this thesis, we studied the problem of the first passage time in options pricing which are financial products allowing the transfer of risks related to the stochastic dynamics of financial markets. In this framework, we developed a new derivative called Geometric Istanbul Option. This option is an extension of Asian options since its price depends onthe average price of the underlying asset over a random period of time. Moreover, as in the case of barrier options, the payoff of a geometric Istanbul option depends on the first passage time of a geometric Brownian motion since we assume that the economic model chosen for the study is the Black-Scholes (1973) model. An approximation formula is given in closed-form for a geometric Istanbul option in both cases of call and put options. In our numerical approaches, we adopt the Monte-Carlo technique with reduction of the variance of the estimator obtained by the control variates method. This numerical approach has allowed us to validate the effciency of our analytical approximation formulas since the option price obtained numerically is very close to the one we propose for various input parameters such as interest rate, volatility, initial price, strike price and maturity date. Furthermore, we have shown, numerically, that our option price is relatively cheaper than that of an arithmetic Istanbul option that was rst proposed by Michel Jacques in 1979.Dans cette thèse, nous avons étudié le problème de l’instant de premier passage dans la tarification des options qui sont des produits financiers permettant le transfert des risques liés à la dynamique stochastique des marchés financiers. Dans ce contexte, nous avons développé un nouveau produit dérivé appelé option géométrique d'Istanbul. Cette option est une extension des options asiatiques car son prix dépend du prix moyen de l'actif sous-jacent sur une période de temps aléatoire. De plus, comme dans le cas des options à barrière, le gain d'une option géométrique d'Istanbul dépend de l’instant de premier passage d'un mouvement brownien générique puisque nous supposons que le modèle économique choisi pour l'étude est celui de Black-Scholes(1973). Une formule d'approximation est donnée sous forme fermée pour une option géométrique d'Istanbul dans le cas d'une option d'achat (Call) et également pour une option de vente (Put). Dans nos approches numériques, nous adoptons la technique de Monte-Carlo avec réduction de la variance de l'estimateur obtenu par la méthode des variables de contrôle. Cette approche numérique nous a permis de valider l'efficacité de nos formules d'approximation analytiques puisque le prix de l'option obtenu numériquement est très proche de celui que nous proposons pour divers paramètres d'entrée tels que le taux d'intérêt, la volatilité, le prix initial, le prix d'exercice et la date d'échéance. Par ailleurs, nous avons montré, numériquement, que le prix de notre option est relativement moins cher que celui d'une option arithmétique d'Istanbul proposée pour la première fois par Michel Jacques en 1979