Chaînes de Markov irréversibles pour les systèmes de particules et les modèles de spin : mélange et mise à l'échelle dynamique

This thesis studies irreversible Markov chains for spin models and particle systems. It analyzes their convergence towards equilibrium in a number of cases, and it proposes new algorithms with improved properties.The first two chapters review some aspects of probability theory, and of the theory of Markov chains. A particular irreversible Markov chain, making use of the “lifting” concept and employing the factorized Metropolis filter, is discussed. It is found to speed up the mixing in many models.The third chapter studies irreversible Markov chains for the one-dimensional hard-sphere model. We obtain an exact result for the mixing time in a continuous case (realizing the “event-chain” algorithm). We relate this problem, and its solutions, to the coupon-collector problem. A new sequential “event-chain” algorithm is proven to further accelerate mixing. This algorithm also remains valid in higher dimensions. For more general Metropolis algorithms with “lifting”, their crossover with the “event-chain” algorithm is discussed.The fourth chapter presents the dynamics of the irreversible Markov-chains for continuous spin models using the factorized Metropolis filter, in the presence of topological excitations. The local nature of the Markov-chain dynamics leads to a slow “vortex” mode and a fast “spin-wave” mode in the two-dimensional XY model. The equilibrium correlation varies from z~2 at the critical temperature to z~0 near zero temperature. The case of the three-dimensional Heisenberg model is also described.The fifth chapter proposes an optimization of the factorized Metropolis filter for general particle models, by introducing a compensating molecular field. Simulations on one-dimensional Lennard-Jones chains indicate a considerable acceleration. A super-diffusive behavior of the “event-chain” algorithm is thought to explain the high speed of dynamics.Cette thèse étudie les chaînes de Markov irréversibles pour les modèles de spin et les systèmes de particules. Nous analysons leur convergence vers l'équilibre dans un certain nombre de cas et proposons de nouveaux algorithmes aux propriétés améliorées.Les deux premiers chapitres examinent certains aspects de la théorie des probabilités et de la théorie des chaînes de Markov. Une chaîne de Markov irréversible particulière, qui utilise le concept de « lifting » et emploie le filtre factorisé Metropolis, est discutée. Nous constatons qu’elle accélère le mélange dans de nombreux modèles.Le troisième chapitre étudie les chaînes de Markov irréversibles pour le modèle des disques durs unidimensionnel. Nous obtenons un résultat exact pour le temps de mélange dans un cas continu (en réalisant l'algorithme de « event-chain »). Nous associons ce problème et ses solutions au problème des « collecteurs de coupons ». Il a été prouvé qu'un nouvel algorithme séquentiel « event-chain » accélérait encore le mélange. Cet algorithme reste également valable dans les dimensions supérieures. Pour les algorithmes Metropolis plus généraux avec « lifting », leur croisement avec l'algorithme « event-chain » est discuté.Le quatrième chapitre présente la dynamique des chaînes de Markov irréversibles pour les modèles de spin continu en utilisant le filtre factorisé de Metropolis, en présence d'excitations topologiques. La nature locale de la dynamique de la chaîne de Markov conduit à un mode lent de « vortex » et à un mode rapide de « l’onde de spin » dans le modèle XY bidimensionnel. La corrélation à l'équilibre varie de z~2 à la température critique à z~0 près de la température zéro. Le cas du modèle de Heisenberg tridimensionnel est également décrit.Le cinquième chapitre propose une optimisation du filtre factorisé de Metropolis pour les modèles de particules généraux en introduisant un champ moléculaire de compensation. Les simulations sur des chaînes de Lennard-Jones unidimensionnelles indiquent une accélération considérable. Nous pensons qu'un comportement super-diffusif de l'algorithme «chaîne d'événements» expliquera la vitesse élevée de la dynamique