Séparation des variables et fonctions de corrélation des systèmes intégrables quantiques

The aim of this thesis is to develop an approach for computing correlation functions of quantum integrable lattice models within the quantum version of the Separation of Variables (SoV) method. SoV is a powerful method which applies to a wide range of quantum integrable models with various boundary conditions. Yet, the problem of computing correlation functions within this framework is still widely open. Here, we more precisely consider two simple models solvable by SoV: the XXX and XXZ Heisenberg chains of spins 1/2, with anti-periodic boundary conditions, or more generally quasi-periodic boundary conditions with a non-diagonal twist. We first review their solution by SoV, which present some similarities but also crucial differences. Then we study the scalar products of separate states, a class of states that notably contains all the eigenstates of the model. We explain how to obtain convenient determinant representations for these scalar products. We also explain how to generalize these determinant representations in the case of form factors, i.e. of matrix elements of the local operators in the basis of eigenstates. These form factors are of particular interest for the computation of correlation functions since all correlation functions can be obtained as a sum over form factors. Finally, we consider more general elementary building blocks for the correlation functions, and explain how to recover, in the thermodynamic limit of the model, the multiple integral representations that were previously obtained from the consideration of the periodic models by algebraic Bethe Ansatz.Le but de cette thèse est de développer une approche au calcul des fonctions de corrélation des modèles intégrables quantiques sur réseau dans le cadre de la version quantique de la méthode de séparation des variables (SoV). SoV est une méthode puissante applicable à une large classe de modèles quantiques intégrables avec des conditions aux limites variées. Cependant, le calcul des fonctions de corrélation reste dans ce cadre un problème encore largement ouvert. Nous considérons ici plus précisément deux modèles simples solubles par SoV : les chaînes de Heisenberg XXX et XXZ de spins 1/2, avec des conditions aux limites anti-périodiques, ou plus généralement des conditions aux limites quasi-périodiques avec un twist non diagonal. Nous rappelons leurs solutions par SoV, qui présentent des similitudes mais aussi des différences cruciales. Puis nous étudions les produits scalaires d'états séparés, une classe d'états qui contient notamment tous les états propres du modèle. Nous expliquons comment obtenir, pour ces produits scalaires, des représentations sous forme de déterminant utilisables pour l'étude du modèle. Nous expliquons également comment généraliser ces représentations dans le cas des facteurs de forme, c'est-à-dire des éléments matriciels des opérateurs locaux dans la base des états propres. Ces facteurs de forme sont d'un intérêt particulier pour le calcul des corrélations puisque toutes les fonctions de corrélation peuvent être obtenues sous forme de somme sur des facteurs de forme. Enfin, nous considérons des blocs élémentaires plus généraux pour les fonctions de corrélation, et expliquons comment retrouver, dans la limite thermodynamique du modèle, les représentations sous forme d'intégrales multiples précédemment obtenues à partir de l'étude des modèles périodiques par Ansatz de Bethe algébrique