Propagation d'ondes acoustiques et élastiques dans des milieux microstructurés avec interfaces : homogénéisation, simulation et optimisation

In this thesis, the focus is on wave propagation in periodic microstructured media in the presence of interfaces. The dynamic homogenization of these media and the design of the microstructures to achieve a given macroscopic effect are studied. In a first part, homogenization and optimization are carried out for thin microstructured layers. In a second part, the homogenization of periodic microstructures in all spatial dimensions is addressed. The first part concerns the case where the heterogeneities constitute a periodic row of inclusions immersed in a homogeneous matrix. When the physical parameters of the inclusions are strongly contrasted with those of the matrix, internal resonances can occur and be used to maximise acoustic absorption. The homogenization of such a resonant microstructured layer is studied using a method of matched asymptotic expansions and leads to non-local jump conditions. The introduction of auxiliary variables allows to get a local evolution problem in time which is then solved numerically by an ADER scheme coupled with an immersed interface method. This methodology is validated (local truncation error analysis, comparison with analytical solutions) and makes possible wave diffraction simulations by resonant meta-interfaces. Finally, the sensitivity of the effective parameters to the geometry of the microstructure is determined using topological derivatives. We then implement a topological optimization procedure for the design of non-resonant thin microstructured layers. On the other hand, it is often assumed that the contact between the inclusions and the homogeneous matrix is perfect. Some models, such as spring-mass conditions, account for the behaviour of imperfect contacts between solids. In the second part of the thesis, low-frequency volume homogenization of such configurations is carried out to obtain the expression of the homogenized fields at order 1, and an extension to non-linear contacts is presented. Finally, dispersion diagrams in 1D solids with spring-mass conditions are studied. The framework of high-frequency homogenization is used and an approximation of the fields to the leading order, as well as dispersion relations near the edges of the Brillouin zone is obtained.Dans cette thèse, on s’intéresse à la propagation des ondes dans des milieux microstructurés périodiques en présence d’interfaces. On étudie l’homogénéisation en dynamique de ces milieux ainsi que le design des microstructures pour obtenir un effet macroscopique donné. Dans une première partie, l’homogénéisation et l’optimisation sont menées pour des couches minces microstructurées. Dans une seconde partie, on traite de l’homogénéisation de microstructures périodiques selon toutes les dimensions de l’espace. La première partie concerne le cas où les hétérogénéités constituent une rangée périodique d'inclusions plongées dans une matrice homogène. Lorsque les paramètres physiques des inclusions sont fortement contrastés avec ceux de la matrice, des résonances internes peuvent se produire et être utilisées pour maximiser l'absorption acoustique. L’homogénéisation d'une telle couche microstructurée résonante est étudiée grâce à une méthode de développements asymptotiques raccordés, et conduit à des conditions de saut non locales en temps. L’introduction de variables auxiliaires permet de se ramener à un problème d’évolution local en temps qui est ensuite résolu numériquement par un schéma ADER couplé à une méthode d’interface immergée. Cette méthodologie est validée (analyse d’erreur locale de troncature, comparaison à des solutions analytiques) et rend possible des simulations de diffraction d’ondes par des méta-interfaces résonantes. Enfin, la sensibilité des paramètres effectifs à la géométrie de la microstructure est déterminée à l’aide de dérivées topologiques. On met alors en œuvre une procédure d’optimisation topologique en vue du design de couches minces microstructurées non résonantes. D’autre part, il est souvent supposé que le contact entre les inclusions et la matrice homogène est parfait. Certains modèles, par exemple les conditions masse-ressort, rendent compte du comportement des contacts imparfaits entre solides. Dans la deuxième partie de la thèse, l’homogénéisation volumique à basse fréquence de telles configurations est menée pour obtenir l’expression des champs homogénéisés à l’ordre 1, et une extension à des contacts non-linéaires est présentée. Enfin, on étudie les diagrammes de dispersion dans des solides 1D avec conditions de masse-ressort. On se place ainsi dans le cadre de l’homogénéisation haute fréquence et on obtient une approximation des champs à l’ordre dominant, ainsi que des relations de dispersion près des bords de la zone de Brillouin