Marches Aléatoires, Branchement, et Arbres

In this thesis, we are interested in random walks random walks on Galton-Watson trees and tree-indexed random walks. Firstly, we study the -biasedwalk on a Galton-Watson tree, and deduce the scaling limit of its cover time,i.e. the time that every vertex is visited. Secondly, we study the capacity, inthe sense of potential theory, of a branching random walk in Zd, and deduceits asymptotic for all dimensions d 3. Thirdly, we study the spread of abranching random walk conditioned on rarely survival, and give its limitingbehavior in the sense both of genealogy and of spatial distribution.Depuis ces dernières décennies, l’analyse multi-échelle a montré sa grande importance dans la théorie de probabilité, on peut citer par exemple les travaux de Dembo,Peres, Rosen et Zeitouni (2000–2004) sur les points épais du mouvement brownien et marche aléatoire dans le plan (et en dimension supérieure), et plus récemment les travaux de Bramson et Zeitouni (2012), Ding et Zeitouni (2014) sur le aximum du champ gaussien libre, et ceux de Ding, Lee et Peres (2012), Belius et Kistler (2017), Belius, Rosen et Zeitouni (arXiv 2017+) sur le temps de recouvrement. Le sujet de cette thèse a pour objectif d’étudier certains problèmes de l’analyse multi-échelle pour les marches aléatoires biaisées dans un arbre