Quelques résultats sur les bêta-expansions et sur les suites de Thue-Morse généralisées

This thesis consists of three chapters including ten sections, which focus on beta-expansions, related digit frequencies, generalized Thue-Morse sequences and their relations. Chapter 1 is devoted to greedy beta-expansions and related digit frequencies. In Section 1.1, we study the distributions and numbers of full and non-full words in greedy beta-expansions. In Sections 1.2 and 1.3, by studying Bernoulli-type measures and variational formulae respectively, we obtain some exact formulae for the Hausdorff dimension of some digit frequency sets in greedy beta-expansions.Chapter 2 is devoted to general beta-expansions (not only the greedy ones) and related digit frequencies. In Section 2.1, we systematically study expansions in multiple bases, which are natural generalizations of usual expansions in one base. From Section 2.2 we return to expansions in one base and consider digit frequencies. In Section 2.2, we give three small results on the digit frequencies of general beta-expansions. In Section 2.3, we study Bernoulli-type measures in a framework similar to Section 1.2, and as an application we obtain the Hausdorff dimension of some frequency subsets of the set of univoque sequences.Chapter 3 is devoted to some generalizations of the famous Thue-Morse sequence, including their relations to beta-expansions and digit frequencies. In Section 3.1, we show that a class of generalized shifted Thue-Morse sequences is strongly related to a bifurcation phenomenon on the digit frequencies of unique beta-expansions. In Section 3.2, we study expansions of generalized Thue-Morse numbers, which are defined by further generalizations of the generalized shifted Thue-Morse sequences given in Section 3.1. Finally we consider another class of generalizations of the Thue-Morse sequence in Sections 3.3 and 3.4, and respectively we study related infinite products and generalized Koch curves.Cette thèse se compose de trois chapitres comprenant dix sections, qui se concentrent sur les bêta-expansions, les fréquences de chiffres associées, les suites de Thue-Morse généralisées et leurs relations. Le chapitre 1 est consacré aux bêta-expansions gloutonnes et aux fréquences de chiffres associées. Dans la section 1.1, nous étudions les distributions et les nombres de mots pleins et non-pleins dans les bêta-expansions gloutonnes. Dans les sections 1.2 et 1.3, en étudiant respectivement les mesures de Bernoulli-type et les formules variationnelles, nous obtenons des formules exactes pour la dimension de Hausdorff de certains ensembles de fréquences de chiffres en bêta-expansions gloutonnes. Le chapitre 2 est consacré aux bêta-expansions générales (pas seulement les plus gloutonnes) et aux fréquences de chiffres associées. Dans la section 2.1, nous étudions systématiquement les expansions dans plusieurs bases, qui sont des généralisations naturelles d'expansions habituelles dans une base. À partir de la section 2.2 nous revenons aux expansions dans une base et considérons les fréquences de chiffres. Dans la section 2.2, nous donnons trois petits résultats sur les fréquences de chiffres des bêta-expansions générales. Dans la section 2.3, nous étudions les mesures de Bernoulli-type dans un cadre similaire à la section 1.2, et comme application nous obtenons la dimension de Hausdorff de certains sous-ensembles de fréquences de l'ensemble des séquences univoques.Le chapitre 3 est consacré à certaines généralisations de la célèbre suite de Thue-Morse, y compris leurs relations avec les bêta-expansions et les fréquences de chiffres. Dans la section 3.1, nous montrons qu'une classe de suites de Thue-Morse décalées généralisées est fortement liée à un phénomène de bifurcation sur les fréquences de chiffres des bêta-expansions uniques. Dans la section 3.2, nous étudions les expansions des nombres de Thue-Morse généralisés, qui sont définis par d'autres généralisations des suites de Thue-Morse décalées généralisées données dans la section 3.1. Enfin, nous considérons une autre classe de généralisations de la suite de Thue-Morse dans les sections 3.3 et 3.4, et nous étudions respectivement les produits infinis associés et les courbes de Koch généralisées