Compositionnalité des monades par lois de distributivité faibles

Monads are a concept from category theory allowing to model abstractly the notion of computational effect. The non-compositionality of monads is well-known, but the theory of distributive laws is a classical tool that has proved useful to combine effects of several monads. In frequent cases, there is no way of defining a distributive law between a pair of specific monads. When it feels like there almost exists one, a weaker form of distributive law can be used. This thesis studies theoretical properties of weak distributive laws, introduces a dual notion called coweak distributive laws, and provides applications to coalgebra theory: generalised determinisation and up-to techniques for bisimulations, with examples for alternating automata and probabilistic automata. Some specific weak distributive laws are also studied. The unique monotone weak distributive law between the powerset monad and the distribution monad is derived, allowing to combine probabilistic choice and non-deterministic choice in a canonical way. Although it is known that the powerset monad weakly distributes over itself, this result is generalised to arbitrary toposes and to compact Hausdorff spaces, where the role of the powerset is played by the Vietoris monad.Les monades sont un concept de théorie des catégories qui permet de modéliser de façon abstraite la notion d'effet computationnel. La non-compositionnalité des monades est bien connue, mais la théorie des lois de distributivités est un outil classique qui s'est révélé utile pour combiner les effets de plusieurs monades. Dans de nombreux cas, il est impossible de définir une loi de distributivité entre une paire de monades spécifiques. Quand il semble qu'il en existe presque une, il est possible d'utiliser une forme plus faible de loi de distributivité. Cette thèse étudie les propriétés théoriques des lois de distributivité faibles, introduit une notion duale appelée lois de distributivité cofaibles, et fournit des applications à la théorie des coalgèbres : déterminisation généralisée et techniques up-to pour les bisimulations, avec des exemples pour les automates alternants et les automates probabilistes. On étudie également des lois de distributivité faibles précises. On calcule l'unique loi de distributivité faible monotone entre la monade des sous-ensembles et la monade des distributions, ce qui permet de combiner le choix probabiliste et le choix non-déterministe de façon canonique. Bien qu'il soit connu que la monade des sous-ensembles se distribue faiblement sur elle-même, ce résultat est généralisé à des topos arbitraires et aux espaces compacts Hausdorff, où le rôle des sous-ensembles est joué par la monade de Vietoris