On post-critical behavior of a beam on an elastic foundation

U ovom radu, analizirana je nelinearna jednačina deformacije štapa koja odgovara dvoparametarskom bifurkacionom problemu koji proizilazi iz analize stabilnosti proste grede na elastičnoj podlozi Vinklerovog tipa uz tako pretpostavljene parametre sistema da imamo dva različita moda izvijanja za istu vrednost kritične sile. Koristeći LJapunov-Šmitovu redukciju, izvršena je bifurkaciona analiza nelinearnog problema, kojom je dobijen broj netrivijalnih rešenja. Takođe, izvršena je bifurkaciona analiza pomoću energijskog metoda i određena je energija za svako bifurkaciono rešenje. Rešenje sa najmanjom energijom je ono koje bi se javilo u poslekritičnom stanju. Za specifičan izbor parametara, bifurkaciono rešenje u formi drugog moda ima najmanju totalnu energiju. Na kraju su dati i numerički rezultati koji ilustruju data rešenja.Subject of analisys in this paper is the nonlinear equilibrium equation corresponding to the two-parameter bifurcation problem arising in the stability analysis of an elastic simply supported beam on the Winkler type elastic foundation for the case when bimodal buckling occurs. We perform the bifurcation analysis of the nonlinear problem by using Lyapunov–Schmidt reduction, thus obtaining the number of the nontrivial solutions to the nonlinear problem and qualitatively characterizing the solution patterns. We also give the formulation of the problem and bifurcation analysis from the total energy viewpoint and determine the energy of each bifurcating solution. We assert that the solution with the smallest energy is the one that will be observed in the post-critical state. For specific choice of parameters, the bifurcating solution in the form of the second buckling mode has the smallest total energy. The numerical results illustrating the theory are also provided