Dolazak na putanju dohodak-potrošnja u točke maksimalnog zadovoljstva i minimalnih izdataka

U ovom se članku proces rješavanja problema ograničene optimizacije primjenjuje na rješavanje potrošačevog problema ograničene maksimizacije korisnosti i na rješavanje potrošačevog problema ograničene minimizacije izdataka polazeći od pretpostavke da potrošačev ukus opisuje suvremena strogo rastuća i striktno kvazikonkavna funkcija korisnosti. Proces se rješavanja ovih problema zapravo svodi na opis potrošačevog dolaska u ravnotežu i na opis ravnoteže, odnosno na opis potrošačevog dolaska na putanju dohodakpotrošnja kada potrošač, pri zadanim cijenama, maksimizira korisnost za zadani dohodak i na opis potrošačevog dolaska na putanju korisnost-izdaci kada potrošač, pri zadanim cijenama, minimizira izdatke za zadanu korisnost te na opis točaka ravnoteže na tim putanjama. Matematičko oblikovanje potrošačeve ravnoteže omogućava primjenu metode jednakih nagiba pomoću koje se, u oba slučaja ograničene optimizacije, jednostavno pronalaze optimalne kombinacije dobara i optimalne vrijednosti funkcija cilja. U procesu se dolaska do ovih rezultata na prirodan način razotkrivaju i ekonomsko i matematičko značenje Lagrangeovih multiplikatora kao i skup jednadžbi kojih je rješenje kritična točka Lagrangeove funkcije bez da se bilo što izravno govori o Lagrangoevoj funkciji. Ne samo to, polazeći od stajališta da je funkcija cilja u problemu ograničene minimizacije izdataka funkcija ograničenja iz problema maksimizacije korisnosti i da je funkcija ograničenja u problemu ograničene minimizacije izdataka funkcija cilja iz problema ograničene maksimizacije korisnosti bezbolno se izvode dualne veze, od kojih posebnu važnost imaju veze između Hicksovih i Marshallovih funkcija potražnje iz kojih izravno slijedi jednadžba Slutskyog, jednadžba koja na najsažetiji način izražava suvremeni zakon potražnje. Metoda jednakih nagiba i geometrijska interpretacija uloge Lagrangeovih multiplikatora potpuno razaraju mističnu predodžbu o Lagrangeovoj metodi neodređenih multiplikatora. Iz uvjeta prvog reda, koji slijede iz Lagrangeove funkcije, proizlazi ravnotežna jednakost granične stope supstitucije između dobara, koja je imuna na monotono rastuće transformacije funkcije korisnosti, i odnosa cijena dobara. Imunost granične stope supstitucije između dobara na monotono rastuće transformacije funkcije korisnosti omogućava bijeg od pojma korisnosti i napuštanje zakona opadajuće granične korisnosti, kojeg, u skladu s Paretovim zamislima, zamjenjuje zakon opadajuće granične stope supstitucije između dobara. Ispunjenje je tog zakona dovoljan uvjet drugoga reda u oba modela ograničene optimizacije