Fibonacci sequence and golden ratio

Fibonaccijev niz je niz brojeva koji je ime dobio po Leonardu Fibonacciju. Niz se sastoji od brojeva kod kojih je svaki sljedeći zbroj prethodna dva broja. Na primjeru razmnožavanja zečeva uočljiv je Fibonaccijev niz. Binetova formula nam služi za pronalaženje n-tog člana niza. Lucasovi, Tribonaccijevi, Tetranaccijevi brojevi su oblici generalizacije Fibonaccijevog niza. Niz ima mnoga svojstva od kojih su neka prikazana u ovom radu. Pomoću verižnih razlomaka je moguće aproksimirati iracionalan broj alpha=(1+\sqrt(5))/(2) kojeg pronalazimo u Binetovoj formuli, racionalnim brojevima. Zbrajajući elemente na jednom pravcu, pod kutem 45 stupnjeva na Pascalovom trokutu dobivamo Fibonaccijeve brojeve. Zlatni rez na primjeru dužine je definiran kao odnos dijelova dužine kod kojeg se cijela dužina odnosi prema većem dijelu kao što se veći odnosi prema manjem, te iznosi 1,61803398874.... Zlatni rez je vidljiv u geometriji na zlatnom trokutu, koji je karakterističan trokut deseterokuta, zlatnom pravokutniku, čije su stranice duljine susjednih Fibonaccijevih brojeva. Spomenuli smo i zlatni kut koji iznosi 137.5 stupnjeva. Fibonaccijevi brojevi u prirodi mogu se naći u laticama cvijeća, broju spirala na češerima, suncokretu, ananasu. Zlatna spirala koja se može nacrtati u zlatnom pravokutniku je vidljiva na primjeru indijske lađice, galaksijama, te na mnogim umjetničkim slikama kao što je Mona Lisa. Na ljudskom tijelu možemo naći zlatni rez. U arhitekturi se zlatni rez vidi u obliku zlatnog pravokutnika na nekim antičkim građevinama, kao i onim suvremenim.The Fibonacci sequence is a series of numbers named after Leonardo Fibonacci. Sequence consists of numbers where each following number is the sum of the two previous numbers. Fibonacci sequence is noticeable on example of breeding rabbits. Binet formula serves us for finding nth member of the sequence. Lucas, Tribonacci, Tetranacci numbers are forms of generalization of the Fibonacci sequence. This sequence has many properties and some of them are presented in this paper. Using continued fractions it is possible to approximate irrational number alpha=(1+\sqrt(5))/(2) , which is a part of Binet formula with rational numbers. Adding up the elements in one direction, at the angle of 45 degree on Pascal's triangle we get Fibonacci numbers. The golden ratio on the example of length is defined as the ratio of parts of the length in which the entire length refers to the larger part as the larger relates to the smaller and amounts to 1,61803398874.... Golden ratio is visible in geometry on golden triangle, which is the characteristic triangle of the decagon, golden rectangle, whose sides are the lengths of the adjacent Fibonacci numbers. We also mentioned the golden angle that is 137.5 degree. Fibonacci numbers in nature can be found in flower petals, the number of spirals on pine cones, sunflowers, pineapple. A golden spiral that can be drawn in a golden rectangle is visible on the example of the nautilus, galaxies and many art paintings such Mona Lisa. We can find golden ratio on the human body. In architecture golden ratio is seen in the shape of golden rectangle on some ancient buildings, as well as modern ones