Development of mathematical models for predicting velocity profiles of two-phase flows in a microchannel.

V diplomski nalogi je zanimanje bilo usmerjeno na različne metode simulacije problema dvofaznih fluidnih tokov. Matematično modeliranje se je z leti razvijalo na različnih področjih, vse z namenom nadzora in optimizacije sistemov in procesov. Temelji na prevajanju problemov v matematične formulacije. V zadnjih nekaj desetletjih je bilo na področju mikrofluidov izraženo veliko zanimanje. Opazovanje fluidnih sistemov v geometrijskem okvirju pod 1 mm je pokazalo večjo učinkovitost, mobilnost in manjšo porabo reagentov, matematično modeliranje takšnih sistemov in napovedovanje obnašanja mikrofluidnih tokov pa je prispevalo h kakovosti proizvodov, večjemu prispevku in predvsem varnosti za ljudi in okolje. Čeprav imajo enofazni mikrofluidni tokovi široko paleto aplikacij in prednosti, večfazni tokovi ponujajo izboljšave v njihovih mehanizmih, ki jih lahko opazimo na področjih kemične predelave, odkrivanja zdravil, biologije in medicine. Primarni interes pri tej nalogi je bil pretok dveh nemešljivih tekočin (npr. olje in voda), katerih interakcija lahko privede do različnih pojavov in režimov toka. V uvodnem delu naloge so predstavljeni parametri, ki olajšajo analizo in matematično napoved obnašanja fluidnih tokov. Brezdimenzijska števila (Reynoldsovo, Kapilarno, Bondovo, Weberovo) pomagajo razvrstiti pomen sil. Namreč, tokovi v mikrokanalih niso opredeljeni z gravitacijo, temveč s prisotnostjo viskoznih, inercialnih in sil površinske napetosti. Poznavanje razmer sil olajša opisovanje vedenja večfaznih tokov in oblikovanje smernic za načrtovanje takšnih sistemov. Pretok dveh nemešljivih tekočin je večinoma laminaren, zato je določen z majhnim Reynoldsovim številom. Študije pa so pokazale, da na končni režim pretoka vplivajo številni drugi dejavniki, od geometrije kanala, preko pretoka do nestabilnosti, ki se lahko pojavijo na medfazni meji. Pri toku dveh tekočin je veliko različnih delitev ustvarjenih fluidnih režimov naštetih v literaturi, eden od njih pa je: paralelni, segmentirani, obročast in razpršen/dispergiran tok. Predmet te naloge so bili najpogostejši fluidni režimi - paralelni in segmentirani. Poleg teh dveh je pomemben tudi tranzitni tok med njima in pogoji, v katerih se pojavlja, kar je privedlo do razvoja grafikonov za njihovo napovedovanje na podlagi kompleksa brezdimenzionalnih števil. Ena ključnih stvari pri analizi fluidov je uporaba Navier-Stokesove enačbe. V tej nalogi je izvedena uporaba Navier-Stokesovih enačb za paralelni tok dveh nemešljivih tekočin v mikrokanalu. Tekočinam se pripisujejo lastnosti kontinuuma, Newtonskih tekočin in nestisljivost za uvedbo možnih približkov. Za reševanje problemov matematičnega modeliranja so bile razvite numerične metode na treh lestvicah: makro, mikro in mezo. Navier-Stokesove enačbe in predpostavke imajo dostop do sistema in problema z makro-nivoja. Pristop na makro-nivoju in diskretizacija opazovane domene v elemente povzroči zanemarjanje velikosti, strukture in interakcij med molekulami. Zaradi tega pride do neupoštevanja molekularnih interakcij in težav, ampak pride tudi zagotavljanja priložnosti za opis različnih mejnih pogojev. V nasprotju s tem pristop k sistemu z molekularnega nivoja upošteva interakcije atomov in molekul, pa tudi njihove posamezne lastnosti. Pri tem pristopu je ključnega pomena kinetična energija delcev. Ker včasih vedenje vsakega atoma ali molekule ni pomembno posebej, so bile razvite metode na mezo-nivoju. Ključno je poznati in razviti funkcijo, ki opisuje obnašanje več delcev, pri čemer do neke mere upošteva približek kontinuuma in informacije iz molekularnega nivoja. Namen tega dela je bil na splošno opredeliti metode in pristope za modeliranje mikrofluidnih tokov. Glavni izzivi v prejšnjih študijah večfaznih tokov so bili opis medfazne meje tekočin in določanje njihovih profilov hitrosti, zato je izjemno pomembno simuliranje dvofaznih tokov tekočin kot njihovega najpreprostejšega primera. V te namene naloga predstavlja osnovna načela delovanja reprezentativnih in najpogosteje uporabljenih numeričnih metod - metode končnih razlik, metode končnih elementov in mrežne Boltzmannove metode. Metoda končnih razlik k problemu pristopa z diskretizacijo prostorske in časovne domene na končno število korakov oz. razlik med elementi. Kot primer je navedena raziskava, ki je obravnavala paralelni tok dveh nemešljivih tekočin in napoved prehoda v segmentiran tok na primeru n-heksana in vode. Naveden je potek razvoja Navier-Stokesove enačbe, zanemarjanje stisljivosti, površinska napetost za namene pretvorbe sistema v sistem linearnih enačb, ki so v MatLabu rešene s pomočjo matrik in Gaussove eliminacije. Metoda končnih elementov temelji na delitvi domene sistema na končno število manjših enostavnejših elementov, od katerih vsak vsebuje del kontinuiranega fluida. Ocenjevanje in izračun enačb se izvajata na točkah, ki so postavljene na vogalih ali straneh, v t.i. vozlišč. Z uporabo vozlišč se enačbe ocenijo v integralni obliki, neznana funkcija pa dobi približek skozi domeno. Alternativa prej omenjenim metodam, ki temeljijo na reševanju Navier-Stokesove enačbe, je mrežna Boltzmannova metoda. Sledi celotnemu nizu molekul sistema, katerega domena je predstavljena s pravilno mrežo, ki porazdeli delce na diskretnih vozliščih. Makroskopske količine so izražene s funkcijami porazdelitve, prostorski in časovni razvoj pa poteka z uvedbo trknega in propagacijskega operatorja. Izhodišče je Boltzmannova enačba, ki omogoča večji nadzor nad molekularnimi interakcijami in s tem boljši opis makroskopskega obnašanja, opaženega v večfaznih fluidnih tokovih. Razvit je bil model enojnega relaksacijskega časa (bolj znan kot BGK) v dveh dimenzijah z 9 mrežnimi hitrostmi (D2Q9). Z določitvijo neznanih funkcij, ki v domeno vstopajo čez meje, se v simulacijo vnesejo mejni pogoji. Med številnimi variacijami metod za dvofazne pretoke, je bila za razvoj modela izbrana metoda Rothman-Keller (RK). Uvedba trknega operatorja v treh korakih vključuje enofazne trke, propagacijo in dvofazne trke. Funkcija porazdelitve je opredeljena na podlagi pripisovanja barv fazam, kar zagotavlja jasno ločitev faz in možnost neodvisne nastavitve površinske napetosti, viskoznosti in kontaktnega kota. V poglavju o rezultatih in razpravi je predstavljena analitična rešitev kot porazdelitev hitrosti dveh nemešljivih tekočin v mikrokanalu, in grafična predstavitev oblikovanega profila hitrosti. Poleg tega so bili vzeti in primerjani rezultati različnih raziskav na to temo. Prvo navedeno delo je sistem preučeval z uporabo metode končnih razlik. Vsak od treh poskusov je pokazal dobro ujemanje z matematičnimi simulacijami, predstavljenimi kot profili hitrosti. Pri različnih pretokih vode so določene različne vrednosti, potrebne za ustvarjanje paralelnega toka, in vrednosti kapilarnega števila, ki označuje prehod v segmentiran tok. Določeno je tudi razmerje pretoka, pod katerim se ustvarijo ugodni pogoji za nastanek segmentiranega toka. Pokazano je, da se v primeru enakih tokov, dve nemešljivi tekočini preuredita tako, da tekočina z višjo viskoznostjo zavzame večji del kanala. Za prekomerne pretoke vode je bilo sklenjeno, da bo strižna napetost imela velik vpliv in prispevala k razvoju segmentiranega pretoka. Geometrija ni imela vpliva na rezultate. Druga raziskava je z uporabo metode končnih elementov pokazala, da je profil dveh nemešljivih tekočin med nepremičnimi vzporednimi ploščami paraboličen. Pokazano je bilo razmerje hitrosti na medfazni površini dveh tekočin in določen je bil položaj največje razvite hitrosti. Rezultati so bili primerjani z analitičnimi in ujemanje je potrjeno. Študije, ki temeljijo na RK modelu mrežne Boltzmannove metode (LBRK), so pokazale sposobnost simulacije tokov z visokim razmerjem viskoznosti, ne da bi pri tem prišlo do diskontinuitete hitrosti v medfazi. Rešitev za opažene težave je bila predlagana na primeru prekomerne viskoznosti ene od tekočin. Napake in nestabilnosti, ki jih povzroča velik gradient gostote, so bile odpravljene z razvojem dodatkov in izboljšav mrežne Boltzmannove metode, ki so se izkazale uporabnim za številne kompleksne primere. Ena od predstavljenih izboljšav je na prej razviti Inamurjevi večfazni metodi, druga pa je korekcija hitrostnega polja z reševanjem dodatnih Poissonovih enačb in odstranjevanjem tlačnega gradienta. Predstavljena je bila pomembna vloga mrežne Boltzmannove metode pri simulaciji nastajanja kapljic v širokem razponu mikrofluidnih stičišč. Med to raziskavo, ki temelji na LBRK, so opazili tri načine nastajanja kapljic, ki so v raziskavi opisani z brezdimenzijskimi števili in silami. Predstavljeni so bili tudi vplivi toka in viskoznosti na simulacijo. Za opisane metode in možnosti je podan povzetek rezultatov ter prednosti in slabosti vsakega. Največja prednost metode končnih razlik so enostavne kodne strukture, medtem ko je omejena glede opredelitve kompleksnih mejnih pogojev. V nasprotju s tem ima metoda končnih elementov prednost pri bolj zapletenih in nepravilnih geometrijah mikrokanalov. Vendar simulacije končnih elementov zahtevajo kompleksne kodne strukture in so zato časovno odvisne. Mrežna Boltzmannova metoda se je izkazala za enostavno uporabno na kompleksnih področjih in tokovih, njena variacija RK pa kot ena prvih metod za obravnavo večfaznih tokov ima široko paleto aplikacij.In the diploma thesis, the interest was focused on different methods of simulating the problem of two-phase fluid flows in microchannels. Primarily, flows of two immiscible liquids (e.g. oil and water), the interaction of which leads to different phenomena and flow regimes, conditioned by the relations of the present forces, were observed. In the first part of the thesis, the stationary flows of two immiscible liquids were theoretically described. There are many different divisions of fluid regimes in the horizontal flow of the two fluids listed in the literature, and one of them has been accepted: parallel, segmented, annular, and dispersed flow. In addition to dimensionless numbers, one of the key things in the fluid analysis was the use of the Navier-Stokes equation. In this thesis, the application of Navier-Stokes equations to the horizontal flow of two immiscible liquids in a microchannel was performed. The paper aimed to generally define the methods and approaches used for modeling microfluidic flows on 3 scales: macro, micro and mesoscale. The paper presents the basic principles of operation of representative and most commonly used numerical methods for predicting the velocity profile - finite difference method, finite element method, and lattice Boltzmann method. A single relaxation time lattice Boltzmann model (better known as BGK) in two dimensions with 9 network speeds (D2Q9) was developed. Of the many different variations of the two-phase flow method, the Rothman-Keller (RK) method was chosen for model development. In the chapter of results and discussion, the analytical solution was presented as the velocity distribution of two immiscible liquids in the microchannel and a graphical representation of the formed velocity profile. The results from the works that dealt with different methods and the ability of each of them to solve the problem were given. A summary of the results, advantages, and disadvantages of each, as well as applicability, was given